Пән: Математика Тақырып



Дата07.02.2022
өлшемі273,87 Kb.
#86510
Байланысты:
11-12 дәріс


Пән:Математика
Тақырып: Анықталған интегралдың көмегімен жазық фигураның ауданын және дененің көлемін есептеу.
Интегралдың көмегімен ауданды есептеу
Егер f және g функциялары [ab] аралығында анықталған және кез келген x ∈ [ab] үшін (x) ≥ (x) теңсіздігі орындалса, онда [ab] аралығында f және g функцияларының графиктерімен шектелген фигураның ауданы осы функциялардың айырмасының интегралы арқылы анықталады.

Мысал. y = x 2 – 2 және y = –x 2 қисықтарымен шектелген фигураның ауданын табу керек.
Шешуі. y = x 2 – 2 және y = –x 2 қисықтары x1 = –1 және x2 = 1 нүктелерінде қиылысады. [–1; 1] интервалында x 2 – 2 ≤ –x 2 теңсіздігі орындалады, яғни[–1; 1] интервалында y = x 2 – 2 функциясының графигі y = –x 2 функциясының графигінен толығымен жоғары орналаспайды және екі функция бұл аралықта теріс мәнді қабылдайды.

Олай болса, y = x 2 – 2 және y = –x 2 қисықтарымен шектелген фигураның ауданы келесідей есептеледі:

φ(x) және (x) функциялары [ab] аралығында анықталған және [ac] аралығында φ(x) ≥ (x), ал [cb] аралығында φ(x) ≤ (x) болсын. Мұндағы c ∈ [ab]. [ab] аралығында φ(x) және (x) функцияларының графиктерімен шектелген фигураның ауданы былай анықталады:

Мысал. аралығында y =sinx және y =cosx қиысықтарымен шектелген фигураның ауданын табу керек.

Шешуі. және аралықтарында y =sinx функциясының мәні y =cosx функциясының мәнінен кіші емес, ал аралығында y =sinx функциясының мәні y =cosx функциясының мәнінен артық емес.


Осыдан ізделінді аудан былай анықтауға болады:

Айналу денесінің көлемін есептеу
y = (x), (x) ≥ 0, x ∈ [ab] үзіліссіз функцияның графигін Ox осінің маңында айналдырғаннан шығатын, бетпен шектелген денені айналу денесі деп атайды.

Айналу денесі үшін S(x) = πf 2(x) болады. Айналу денесінің x нүктесіне келетін және Ox осіне перпендикуляр қимасы дөңгелек болады. Оның радиусы R = (x), сондықтан S(x) қимасының ауданы πR 2 = πf 2(x)-ке тең.

S(xdx бойынша дененің көлемі мына формуламен анықталады:

Ox осінің маңында айналдырғаннан шығатын дененің көлемі

формуласымен анықталады, ал y = (x) функциясы [ab] аралығында үзіліссіз және бірсарынды болыпc ≤ (x) ≤ dx ∈ [ab] теңсіздігі орындалса, онда функцияның графигін Oy осінің маңында айналдырғаннан шыққан дененің көлемін

формулаларының көмегімен табуға болады.
Мысал. y =sinxx ∈ [0; π] функциясының графигін Ox осінің маңында айналдырғаннан шығатын дененің көлемін есептейік.


Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет