Подмножества. Операции над множествами
жүктеу/скачать 0,61 Mb.
|
СРС Действительный анализ
|
План: Множества. Подмножества. Операции над множествами. Мощность множества. Счетные множества. Множества. В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве точек на прямой, множестве натуральных чисел и т.д. Дать строгое определение множеству невозможно, множеству даются описательные или формальные определения. Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова "множество" его синонимами: совокупность, собрание элементов и т. д. Можем дать такое определение множеству: Множество – это совокупность объектов и элементов, которые понимаются как единое целое по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам. Например, на рисунке изображено множество, в состав которого входят разноцветные шарики. Мы называем изображенную совокупность объектов множеством, потому что они объединены одним правилом. А именно все они изображены в середине некоторой области слайда. Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Множество считается заданным, если относительно любого объекта можно установить, входит ли он в это множество. Множества будем обозначать большими латинскими буквами: A, B, C, X, Y, ... Элементы множества обозначаются маленькими латинскими буквами: a, b, c, x, y, … Факт принадлежности элемента a множеству A отображается символической записью: a∈A. В противном случае пишут: a∉A. Подмножества. Если все элементы множества 𝐵 являются элементами множества 𝐴, то множество 𝐵 является подмножеством множества 𝐴, (запись: 𝐴⊂ 𝐵). Например, целые числа образуют подмножество в множестве всех действительных числах. Множества 𝐴 и 𝐵 равны (запись: 𝐴 = 𝐵), если они содержат одни и те же элементы (другими словами, если 𝐴 ⊂ 𝐵 и 𝐵 ⊂ 𝐴). Операции над множествами. Пусть 𝐴 и 𝐵 – произвольные множества. Объединением, или суммой множеств 𝐴 и 𝐵 называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат или множеству 𝐴, или множеству 𝐵. Объединение множеств 𝐴 и 𝐵 обозначают 𝐴 ∪ 𝐵. Пересечением множеств 𝐴 и 𝐵 называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству 𝐴, и множеству 𝐵. Пересечение множеств 𝐴 и 𝐵 обозначают 𝐴 ∩ 𝐵. Например, пересечение множества всех четных чисел и множества всех чисел, делящихся на три, состоит из всех целых чисел, делящихся без остатка на шесть. Операции объединения и пересечения обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, т. е. для любых множеств 𝐴, 𝐵 и 𝐶 выполнены следующие соотношения: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) Разностью множеств 𝐴 и 𝐵 называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству 𝐴, но не принадлежат множеству 𝐵. Разность множеств 𝐴 и 𝐵 обозначают 𝐴 ∖ 𝐵. Симметрической разностью множеств 𝐴 и 𝐵 называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству 𝐴, но не принадлежат множеству 𝐵, либо принадлежат множеству 𝐵, но не принадлежат множеству 𝐴. Симметрическую разность множеств 𝐴 и 𝐵 обозначают 𝐴 △ 𝐵. Мощность множества. Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Например, множество всех вершин некоторого многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих определенного числа и т.д. Каждое из этих множеств содержит конечное, хотя, быть может, и неизвестное нам число элементов. Число элементов в конечном множестве 𝐴 называют также его мощностью и обозначают |𝐴|. Мощность множества 𝐴 будем обозначать |𝐴|. Если 𝐴1, 𝐴2, ..., 𝐴𝑛 – набор конечных множеств, то для них справедлива следующая формула, называемая формулой включений и исключений: Взаимная однозначность требует, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал ровно один элемент второго и наоборот. Действительно, два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда и в том, и в другом насчитывается одинаковое число элементов. Из этого следует понятие равномощности. Два множества называют равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого. Для конечных множеств это означает, что в них одинаковое число элементов, но определение имеет смысл и для бесконечных множеств. Например, отрезки [0, 1] и [0, 2] равномощны, поскольку отображение 𝑥 ↦ 2𝑥 осуществляет искомое соответствие. Счетные множества. Простейшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел. Бесконечное множество A называется счетным, если его элементы можно занумеровать. Множество A счетное, если существует взаимно однозначное соответствие между множеством A и множеством N натуральных чисел (иначе говоря, существует отображение множества N на A такое, что каждому натуральному числу соответствует ровно один элемент множества A и, обратно, каждому элементу множества A соответствует ровно одно натуральное число). Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным множеством. Множество четных натуральных чисел счетное, взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством N устанавливается по правилу: k ↔ 2k, k ∈ N. Множества Z и Q тоже счетные. Например, множество целых чисел Z счётно, так как целые числа можно расположить в последовательность 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . Установим некоторые общие свойства счетных множеств: жүктеу/скачать 0,61 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|