Решение. Итак, нам нужно найти log 60 27. Несложно заметить, что 27=3 3
жүктеу/скачать 80,92 Kb.
|
Вычислите логарифм
|
Вычислите логарифм 27 по основанию 60, если известно, что log602=a и log605=b. Решение. Итак, нам нужно найти log6027. Несложно заметить, что 27=33, и исходный логарифм в силу свойства логарифма степени можно переписать как 3·log603. Теперь посмотрим, как log603 выразить через известные логарифмы. Свойство логарифма числа, равного основанию, позволяет записать равенство log6060=1. С другой стороны log6060=log60(22·3·5)=log6022+log603+log605=2·log602+log603+log605. Таким образом, 2·log602+log603+log605=1. Следовательно, log603=1−2·log602−log605=1−2·a−b. Наконец, вычисляем исходный логарифм: log6027=3·log603=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b. Ответ: Велосипедист проехал с постоянной скоростью 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на 20 мин больше, чем на путь от А до В. Найдите первоначальную скорость велосипедиста. Проверим решение: Первый способ Пусть х км/ч – скорость велосипедиста при движении из пункта А в пункт В, тогда время движения – 40/х ч. На обратном пути он ехал со скоростью (х – 10) км/ч и затратил 40/(х - 10) ч. По условию задачи известно, что на обратный путь велосипедист затратил больше на 20 мин или на 1/3 часа. Получаем уравнение: 40/(х - 10) – 40/х = 1/3. Если х ≠ 0, х ≠ 10, то 120х – 120х + 1200 = х2 – 10х, х2 – 10х – 1200 = 0, D=100+4800=4900, = =-30, = =40. = - 30 - условию задачи не удовлетворяет. Значит первоначальная скорость велосипедиста – 40 км/ч. Ответ: 40 км/ч. Второй способ Пусть х ч – время, затраченное велосипедистом на путь от А до В, тогда его скорость 40/х км/ч. Время, затраченное на обратный путь (х + 1/3) ч, а скорость – 40/(х + 1/3) км/ч. По условию задачи известно, что обратно велосипедист ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей первоначальной. Получаем уравнение: 40/х - 40/(х + 1/3) = 10. Если х ≠ 0 и х ≠ 1/3, то 40(х + 1/3) – 40х = 10х(х + 1/3), 3х2 + х – 4 = 0, D=1+48=49, = =- , = =1. = - 4/3 –условию задачи не удовлетворяет. Значит, на путь от А до В был затрачен 1 час и первоначальная скорость велосипедиста 40 км/ч. Ответ: 40 км/ч. 6. Подведение итогов урока. - Какие задачи решали на уроке? - Что нового вы узнали на уроке? - Какие затруднения у вас возникли? - Расскажите этапы решения задачи с помощью уравнения. Отметить наиболее активных учеников. Выставить оценки. 7. Задание на дом. №565,№574, на повторение №578. Подготовить выступление трем учащимся на тему «История квадратных уравнений в Индии», «Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне», «Квадратные уравнения в Европе в XIII – XVIIвв». И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». Поблагодарить учащихся за плодотворный урок. Урок № 3 Тема урока: «Решение задач с помощью квадратных уравнений» Цель урока: - закреплять навыки решения задач с помощью квадратных уравнений; - развивать логическое мышление учащихся. Задачи урока: Проверить насколько дети научились составлять уравнение по условию задачи, определять тип текстовой задачи, знать особенности алгоритма её решения. Тип урока: Урок закрепления нового материала. (В форме беседы) Формы работы учащихся на уроке: Индивидуальная, коллективная. Описание необходимого технического оборудования для проведения урока: Компьютер учителя, интерактивная доска. Структура и ход проведения урока: 1.Сообщение темы и цели урока. 2. Путешествие в историю квадратных уравнений. 3.Творческое задание на дом. 4.Подведение итогов. Ход урока: 1.Сообщение темы и цели урока. Здравствуйте, ребята! Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Сегодня на уроке мы с вами отправимся в путешествие, в мир квадратных уравнений. Закрепим навыки решения квадратных уравнений и углубим знания, путем рассмотрения различных нестандартных задач. 2.Путешествие в историю квадратных уравнений. К доске выходит ученик с сообщением «Квадратные уравнения в Индии»: А знаете ли вы, что первое упоминание о задачах на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой форме: ах2 + bх = с, а > 0. В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Давайте решим одну из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары: Обезьянок резвых стая, Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам... Стали прыгать, повисая... Сколько ж было обезьянок, Вы скажите, в этой стае? Все вместе разбираем задачу, один ученик у доски. Решение: Нам необходимо узнать сколь было всего обезьян? Значит, х обозначим количество обезьян. По условию восьмая часть забавлялась на поляне, значит, берем восьмую часть от общего количества обезьян - это будет х, да еще в квадрате . К этому количеству добавим еще, 12 обезьян, которые прыгают по лианам. Получим следующее уравнение: +12=х. Решим это уравнение: +12=х, -х+12=0, D=1-4× = 0,25; = =16, = =48. =16, =48. Два корня удовлетворяют условию задачи. Поэтому в стае могло быть 16 или 48 обезьян. Ответ: 16 или 48 обезьян. Учитель предлагает решить еще одну старинную задачу. Задача: Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян? К доске приглашается ученик. Рассуждения над задачей ведется всем классом. Решение: В задаче надо найти, сколько было всего обезьян? Неизвестную величину обозначим х, тогда пятая часть от всего количества обезьян будет равна х. Это количество обезьян уменьшаем на 3, возводим в квадрат и добавляем 1 обезьяну. Получаем уравнение: +1=3. Решим это уравнение: +1=3, х+9+1=х, , D= 3025-1000=2025, = =5, = =50. Находим корни квадратного уравнения: =5 – не подходит, т.к. если подставить значение 5 в исходное уравнение, то получим х-3=-2, -2 меньше нуля. Значит, условию задачи удовлетворяет второй корень =50. Ответ: 50 обезьян. Выходит следующий ученик с выступление «Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне». Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н. э. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных квадратных уравнений, и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. В Древнем Вавилоне образованные люди (это были жрецы и чиновники) умели решать задачи на определение длины и ширины прямоугольника по площади и периметру. Давайте мы побудим людьми Древнего Вавилона и решим пару задач. Задача №1 Найдите стороны прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 . Решение: Пусть х см ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника (х+4) см. По условию задачи площадь прямоугольника равна 60 Составим и решим уравнение: х(х+4)=60, +4х-60=0, D=16+4×60=16+240=256, = =6, = =-10. Корень равный -10 условию задачи не удовлетворяет, т.к. ширина не может быть отрицательным числом. Следовательно, ширина равна 6м, а длина равна х+4=6+4=10м. Ответ: 6м, 10 м. Задача №2 Периметр прямоугольника 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 Решение: Пусть х м ширина прямоугольника, тогда у м длина прямоугольника. По условию периметр прямоугольника равен 62 м. Вспомним, формулу периметра прямоугольника получим: (х+у)×2=62. По условию знаем, что площадь прямоугольника равна 210 . Получаем х×у=210. Получаем два уравнения: (х+у)×2=62, (1) х×у=210. (2) В уравнении (1) разделим обе части на 2. х+у=31, Выразим переменную х через у. х=31-у, Подставим во второе уравнение. (31-у)×у=210, Раскроем скобки. 31у- =210, Приведем к виду квадратного уравнения. - +31у-210=0, умножим на -1. -31у+210=0, D=961-840=121. =21, =10. Корни подходят по условию задачи. Значит 21 м ширина прямоугольника, а 10 м его длина. Ответ: 21м, 10м. Небольшая разминка. Решите устно следующие уравнения. Задание на интерактивной доске. =9, (Ответ: -3; 3) 2) 3 =300, (Ответ: -10; 10) 3) 2 -8=0, (Ответ: -2; 2) -3x=0, (Ответ: 0; 3) +6x+9=0, (Ответ: -3) -10x+25=0, (Ответ:5) +16x+63=0, (Ответ: -9, -7) -3x+2=0. (Ответ: 2, 1). К доске выходит следующий ученик с сообщением на тему «Квадратные уравнения в Европе в XIII – XVIIвв». Формы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были в первые изложены в «Книге абаха», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраический примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введениям отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абаха» переходили почти во все европейские учебники XVI – XVII вв. и частично XVIII в. Общее правило решений квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: + bx=c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b,c, было сформировано в Европе в 1544г. М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVIIв. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVIIв. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. У доски решаем следующие задачи. Задача №1 Изготовить прямоугольник, если известно, что одна из сторон на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см. Решение: Пусть х см наименьшая из сторон прямоугольника, тогда наибольшая сторона равна (х+14) см. Проводя диагональ, мы делим прямоугольник на два треугольника. Диагональ в прямоугольном треугольнике играет роль гипотенузы. Для правильного составления уравнения мы должны вспомнить теорему Пифагора, и свойство противоположных сторон прямоугольника. Получаем уравнение: + = Решаем уравнение, раскрыв скобки: + +28х+196=1156, 2 +28х+196-1156=0, 2 +28х-960=0, сократим квадратное уравнение на 2 +14х-480=0, D=196+1920=2116, = =16, = =-30 не подходит. =16 см – наименьшая из сторон прямоугольника. х+14=16+14=30, =30 см – наибольшая из сторон прямоугольника. Ответ: 16 см и 30 см. Задача №2 Изготовить прямоугольный треугольник, если один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Решение: Пусть х см гипотенуза прямоугольного треугольника, тогда (х-3)см один из катетов, а другой (х-6)см. Вспомним теорему Пифагора! Квадрат гипотенузы, равен сумме квадратов катетов. Получаем уравнение: + = . Решим уравнение, раскрыв скобки: -6х+9+ -12х+36- =0, -18х+45=0, D=324-4×45=144, = =15, = =3. =15, =3 – второй корень условию задачи не удовлетворяет. 15см – гипотенуза прямоугольного треугольника. 15-3=12 см – один катет прямоугольного треугольника. 15-6=9 см – второй катет прямоугольного треугольника. Ответ: катеты 12 см и 9 см, гипотенуза 15 см. Задача №3 Произведение двух последовательных целых чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа. Решение: Пусть одно из чисел мы обозначим х, следовательно, последующее число на 1 больше – (х+1). Произведение двух чисел равно – х(х+1), а сумма – (х+х+1). По условию задачи произведение этих чисел больше их суммы на 109. Получаем уравнение: х(х+1)-(х+х+1)=109. Раскроем скобки: +х-х-х-1=109, -х-1=109, -х-110=0, D=1+440=441, = =11, = =-10. Если 11 одно из целых чисел, то последующее 11+1=12. Если -10 одно из целых чисел, то последующее -10+1=-9. Ответ: -10 и -9, 11 и 12. 3.Творческое задание на дом. Ученикам предлагается самостоятельно придумать три задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. 4. Подведение итогов. 1. Поблагодарить учеников подготовивших сообщения. ( Выставить оценки) 2. Отметить наиболее активных участников урока. Поставить отметку тем, кто самостоятельно составил уравнения. 3. Попросить учащихся самостоятельно себя оценить, продолжив предложения а) Сегодня на уроке я … б) Сегодня на уроке я смог (или не смог) самостоятельно составить к задаче …… и его решить. Сделать вывод! Поблагодарить за интересный урок! Приложение Урок №1 Карточка №1 1 Вариант 1. Уравнение вида , где a, b, c - заданные числа, a 0, x - переменная, называется... 2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ... 3. Уравнение вида называется... 4. Квадратное уравнение имеет два корня, если ... 5. Дано уравнение . D =... Карточка №2 2 Вариант 1. Если квадратное уравнение, то a... коэффициент, с... 2. Уравнение x² = a, где a < 0, не имеет... 3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если ... 4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a 0, c 0, называют ... квадратным уравнением. 5. Дано уравнение x²- 6x + 8 = 0. D =... Урок №2 Карточка № 1. 1.Запиши общий вид квадратного уравнения. 2.Запиши формулу корней квадратного уравнения. 3.Чему равны коэффициенты а, в, с уравнения х2 – 4х – 3 = 0? 4.Реши уравнения: а) 3х2 + 2 х – 1 = 0; б) 2х 2+ 7х – 4 = 0; в) х2 – 7х +12 = 0. Карточка № 2 1.Запишите формулу дискриминанта квадратного уравнения. 2.Сколько корней имеет уравнение, если D > 0? D < 0? D = 0? 3. Реши уравнения: а) 5х2 + 8х – 4 = 0; б) х2 – 6х + 11 = 0; в) 7х2 + 6х – 1 = 0 Карточка №1 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 156. Найдите эти числа. Карточка № 2 Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 больше другого, равно 210. Найдите эти числа. Log √3+1 (4+2√2) жүктеу/скачать 80,92 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|