Решение задач по высшей математике на заказ идз 11. 2

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

 

 

 

 

 

ИДЗ 11.2 – Вариант 0. 

1. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции 

y=φ(x) при x=x

0

 с точностью до двух знаков после запятой. 

 

1.0  yʹʹ = 

x

3

sin

1

2

,  x

0

 = 

4

3



,  y(

4



) = 

4



, y´(

4



) = 1. 

 

Найдем общее решение данного уравнения 

x

3

sin

1

y

2





 

Находим

y



: 

1

2

C

x

3

ctg

3

1

dx

x

3

sin

1

dx

y

y



















 

Находим

y

: 

dx

C

x

3

ctg

3

1

dx

y

y

1



























 

Интеграл 

C

x

3

sin

n

9

1

C

nt

9

1

t

dt

3

3

1

xdx

3

cos

3

dt

t

x

3

sin

dx

x

3

sin

x

3

cos

3

1

dx

x

3

ctg

3

1































 

В итоге: 

2

1

C

x

C

x

3

sin

n

9

1

y











 

Воспользовавшись начальными условиями, определим C

1

, C

2 

1

4

y













 



 

 

1

1

1

1

C

3

2

C

3

1

1

C

1

3

1

1

C

4

3

ctg

3

1

1

































 

 

4

4

y















 

 

 

 

4

n

36

1

12

C

4

n

4

9

1

6

4

C

C

6

2

2

n

9

1

4

C

4

3

2

4

3

sin

n

9

1

4

2

2

2

2











































































 

 

Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям имеет вид                               

 

4

n

36

1

12

x

3

2

x

3

sin

n

9

1

y

















 

Вычислим значение функции y(x) при x

0

 = 3



/4 

 

 

 

83

,

1

12

14

,

3

7

12

7

4

n

36

1

12

2

4

n

36

1

4

n

36

1

12

4

3

3

2

4

3

3

sin

n

9

1

4

3

y

































































 









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

2. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка 

 

2.0  x

2

y′′′ = y′′

2 

 

Данное уравнение является уравнение II типа (n=3, k =2), т.е. не содержит y. 

Cделаем подстановку 

 

x

z

y





. Тогда 

z

y







   

2

2

z

x

z





 

dx

z

dz

x

z

x

dx

dz

2

2

2

2





 

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на x

2

 и z

2

: 

2

2

x

dx

z

dz



 

Проинтегрируем: 







2

2

x

dx

z

dz

 

x

C

1

x

z

C

x

1

1

z

C

x

1

z

1

C

x

1

z

1

1

1

1

1

























 

Так как 

y

z





, то последнее уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка, 

которое решается двукратным интегрированием: 

2

1

2

1

1

1

1

1

1

C

x

C

1

n

C

1

x

C

1

dx

x

C

1

1

C

1

C

1

dx

x

C

1

x

dx

y

y



















































 



















































dx

C

dx

x

C

1

n

C

1

xdx

C

1

dx

C

x

C

1

n

C

1

x

C

1

dx

y

y

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1





 

Интеграл: 





C

x

C

1

n

C

1

x

C

1

n

x

C

1

C

1

dx

x

C

1

C

C

1

x

C

1

n

x

C

1

C

C

1

x

C

1

C

v

;

dx

du

dx

dv

;

x

C

1

n

u

dx

x

C

1

n

C

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1





































































 

Тогда  

     





3

2

1

2

1

1

1

1

2

1

C

x

C

x

C

1

n

C

1

x

C

1

n

x

C

1

C

1

2

x

C

1

y



























 

В итоге общее решение уравнения: 





3

2

1

2

1

1

1

1

2

1

C

x

C

x

C

1

n

C

1

x

C

1

n

x

C

1

C

1

2

x

C

1

y



























 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. 

 

3.0  yy´´

 

= y´

2

, y(0) = 1, y´(0) = 1. 

 

Данное уравнение является уравнением III типа, так как не содержит явно аргумент x и n=2. 

Понизим порядок уравнения с помощью подстановки 

 

y

p

y





. Тогда 

p

p

y









   

        

dy

p

ypdp

p

dy

dp

yp

p

p

yp

2

2

2











 

Получаем уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на 





1

p

2



 и y: 

      

y

dy

p

dp

y

dy

p

pdp

2







 

Проинтегрируем обе части уравнения 

       







y

dy

p

dp

 

       

1

1

yC

p

nC

ny

np













 

Определим значение C

1

 

       y´(0) = 1    y(0) = 1 

1

C

1



 

Тогда 

y

y





 

dx

y

dy

y

dx

dy







 

x

2

2

e

C

y

C

x

ny

dx

y

dy















 

Определим значение C

2

, использовав начальные данные. y(0) = 1, имеем 

1

C

e

C

1

2

0

2







 

Следовательно, искомое решение имеет вид 

x

e

y



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

4. Проинтегрировать следующие уравнения. 

 

4.0  (e

x

 + y + siny)dx + (e

y

 + x + xcosy)dy = 0 

 

Уравнение вида: 









0

dy

y

,

x

Q

dx

y

,

x

P





 

Введем обозначения: 

 

y

sin

y

e

y

,

x

P

x







;  

 

y

cos

x

x

e

y

,

x

Q

y







 

Тогда  





y

cos

1

y

sin

y

e

y

P

y

x

















                 





y

cos

1

y

cos

x

x

e

x

Q

x

y

















 

Так как 

x

Q

y

P











, то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общий 

интеграл находится по формуле: 









,

C

dy

y

,

x

Q

dx

y

,

x

P

y

y

0

x

x

0

0









 

Тогда 









,

C

dy

y

cos

x

x

e

dx

y

sin

y

e

0

y

y

0

0

y

x

x

x

0

0

















 

Имеем 



 



0

y

y

0

0

y

x

x

x

C

y

sin

x

y

x

e

y

sin

x

yx

e

0

0













 

0

0

0

0

0

y

y

x

x

0

0

0

0

0

y

0

0

y

0

0

x

x

C

y

sin

x

y

x

e

e

e

y

sin

x

yx

e

C

y

sin

x

y

x

e

y

sin

x

y

x

e

y

sin

x

yx

e

y

sin

x

yx

e

0

0

0

0









































 

где 

0

0

0

0

y

x

0

y

sin

x

y

x

e

e

C

C

0

0











 

 

В итоге: 

C

y

sin

x

xy

e

e

y

x









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

5. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(x

0

, y

0

), если известно, что угловой 

коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз…. 

 

5.0 A(2, 4), k = 9 

 

Решение: 

Пусть y – искомая кривая 

k=y'(x) – угловой коэффициент касательной.  

По условию задачи 

                     

ky

y





 

                     

y

9

y





 

                     

ydx

9

dy

y

9

dx

dy







 

Разделим обе части уравнения на y и проинтегрируем их. 







dx

9

y

dy

 

x

9

Ce

y

nC

x

9

ny











 

 

Так как кривая проходит через точку A(2, 4), то 

18

18

2

9

e

4

C

Ce

4

Ce

4













 

Тогда, искомая кривая 

18

x

9

x

9

18

e

4

e

e

4

y







