5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Прежде чем дать определение нового вида дифференциального уравнения, раскроем подробно его название:
1)дифференциальное уравнение (по определению) обязательно содержит производные или дифференциалы искомой функции;
2)уравнение второго порядка содержит производную, наивысший порядок которой равен 2;
3)это уравнение – линейное относительно искомой функции и ее производных, т.е. содержит их в первой степени;
4)это уравнение с постоянными коэффициентами; значит, коэффициенты при функции и ее производных являются постоянными величинами.
Учитывая все это, можно сказать, что рассматриваемое уравнение содержит y, y’, y” в первой степени и коэффициенты при них – постоянные величины.
Коэффициент при y” всегда можно сделать равным единице, полученные при этом коэффициенты при y’ и y обозначим через p и q. Тогда получим уравнение вида
y” + py’ + qy = f(x) , (1)
где p и q – постоянные величины a f(x) – непрерывная функция x. Если правая часть уравнения (1) равна нулю, т. е.
y” + py’ + qy = 0, то оно называется уравнением без правой части (или однородным уравнением).
Определение 1.Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y” + py’ + qy = 0, (2)
где p и q – постоянные величины.
Напомним, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.
Для нахождения общего решения этого уравнения рассмотрим следющие теоремы.
▲ Теорема 1.Если функция у = у1 – решение уравнения (2), то функция у = ау1, где а – постоянный множитель, также является решением этого уравнения. Доказательство. Так как по условию у = у1есть решение уравнения y” + py’ – qy1 = 0, то функция y1 обращает это уравнение в тождество: y”1 +py’1 + qy1 = 0. Пусть y = ay1, где a – постоянный множитель; тогда y’ = ay’1 и y” = ay”1. Для того чтобы показать, что функция y = ay1 является решением данного уравнения, подставим в него эту функцию и ее производные;
Имеем:
ay”1+ pay’1 + qay1 = 0. Вынося а за скобки, получим
a(y”1+ py’1 + qy1 ) = 0. Выражение в скобках равно нулю, так как по условию у1 – решение уравнения.
Очевидно, что функция ау1 обращает данное уравнение в тождество, т.е. является его решением, что и требовалось доказать.
▲ Теорема 2.Если функция у = у1 и у = у2 – решения уравнение (2), то и функция у = у1 + у2 также является решением этого уравнения. При этом у1 и у2 называют частными решениями уравнения (2).
Доказательство. Так же как и при доказательстве теоремы 1, подставим функцию у = у1 + у2 и ее производные в данное уравнение и покажем, что оно обращается в тождество.
Имеем у = у1 + у2, у’ = y’1 + y’2, y” = y”1 + y”2, откуда
y”1 + y”2 + p (y’1 + y’2) + q (y1 + y2) = 0.
Раскрыв скобки и перегруппировав члены уравнения, получим
(y”1 + py’1+ qy1) + (y”2 + py’2 +qy2) = 0.
Выражения в скобках равны нулю, так как по условию у = у1 и у = у2 – решения уравнения y” + py’ + qy = 0.
Следовательно, функция у = у1 + у2 обращает рассматриваемое уравнение в тождество, а значит, является его решением, что и требовалось доказать.
