Сабақтың тақырыбы/ Тема урока: «Уравнения, приводимые к квадратным. Биквадратные уравнения»

2. 
   Актуализация знаний.
   

Сегодня на уроке мы закрепим ваши знания по решению квадратных уравнений; познакомимся с новым видом уравнения, приводимого к квадратному, поэтому повторим изученное, вспомнив основные определения, формулы и теоремы.

- Итак, ребята, скажите, какое уравнение называется квадратным?

(Ответ: Квадратным уравнением называется уравнение вида ,

где ).

- Что называется дискриминантом квадратного уравнения?

(Ответ: Число ).

- Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

(Ответ: неполные квадратные уравнения; приведенные квадратные уравнения).

- Какое квадратное уравнение называется неполным?

(Ответ: Квадратное уравнение называется неполным, если у него хотя бы один из коэффициентов (кроме старшего) равен 0:

).

-Какое уравнение называется приведенным? Какой формулой оно задается?

(Ответ: Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1:).

- Ребята, давайте вспомним, по каким же формулам находятся корни квадратных уравнений различных видов.

- По каким формулам находятся корни уравнения квадратного уравнения стандартного вида: ?

(Ответ: ; при D>0; при D=0; действительных корней нет при D<0).

- Ребята, кто из вас может сказать, как звучит теорема Виета?

(Ответ: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

- Как же будет звучать обратная теорема ? Сформулируйте.

(Ответ: Если числа m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + pх +q=0).

3. 
   Устный счет.
   

Вы должны уметь решать неполные и полные квадратные уравнения на “ отлично” для успешного усвоения новой темы. Поэтому, давайте еще раз вспомним решение неполных квадратных уравнений. (устно).

1. 
   х²=36;
   
2. 
   5х²=0;
   
3. 
   6х²=54;
   
4. 
   2х²-18=0.
   

4. 
   Открытие темы урока. Кроссворд.
   

Кроссворд. Если вписать верные слова, то получится название одного из видов уравнений.

Кроссворд.

1. 
   Третья степень числа. (Куб)
   
2. 
   Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. (Дискриминант)
   
3. 
   Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. (Корень)
   
4. 
   Уравнения, имеющие одинаковые корни. (Равносильные)
   
5. 
   Равенство с переменной. (Уравнение)
   
6. 
   Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю. (Приведенное)
   
7. 
   Многочлен в правой части квадратного уравнения. (Трехчлен)
   
8. 
   Равенство, содержащее числа и переменные. (Формула)
   
9. 
   Французский математик. (Виет)
   
10. 
    Числовой множитель - в произведении. (Коэффициент)
    
11. 
    Один из видов квадратного уравнения. (Неполное)
    
12. 
    Множество корней уравнения. (Решения)
    

5. 
   Сообщение целей урока.
   

Дать определение биквадратного уравнения, научить решать биквадратные уравнения, исследовать число корней биквадратного уравнения;

6. 
   Объяснение нового материала.
   

Запишем тему урока в тетрадях

- Ребята, мы с вами повторили квадратные уравнения. Это нам понадобится при изучении алгебраических уравнений высших порядков. Биквадратные уравнения являются представителем класса алгебраических уравнений высших порядков. Запишите определение биквадратного уравнения.

- Определение: Биквадратным уравнением называется уравнение вида .

Биквадратное уравнение решается с помощью замены переменной z = x². Если вместо х² подставляем z, то вместо х⁴ будет z². Тогда мы получаем квадратное уравнение: az²+bz+c=0. Запишите алгоритм решения биквадратного уравнения в тетрадь.

- Сейчас мы с вами разберем примеры решения таких уравнений.

Пример: 4х⁴-5х²+1=0

Пусть х²=z;

4z²-5z+1=0;

D=25-4·4·1=9;

z₁=

Обратная подстановка:

х²=0,25;

х₁=0,5; х₂=-0,5;

х²=1;

х₃=1; х₄=-1.

7. 
   Исследование корней биквадратного уравнения.
   

Работа в парах

Сейчас мы проведём исследование: сколько корней имеет биквадратное уравнение. Каждая пара получит своё уравнение и решит его.

А потом мы сделаем выводы о том, сколько корней имеют биквадратные уравнения.
 Дети решают уравнения

- Итак, что получилось? Рассказывает 1 пара.
 х⁴-10х²+9=0. У нас получился дискриминант положительный, значит, квадратное уравнение имеет 2 корня, корни тоже положительные, значит всего 4 корня.
- Вторая пара.
2х⁴ –х²-1=0. Дискриминант положительный, один корень положительный, а другой отрицательный, значит, биквадратное уравнение имеет 2 корня.
- Третья пара.
 х⁴+5х²+4=0. Дискриминант квадратного уравнения положительный, но корни отрицательные, значит, биквадратное уравнение не имеет корней.
- Четвёртая пара.
2х⁴+5х²+4=0. А у нас дискриминант отрицательный, поэтому уравнение не имеет корней.
- Следующая пара.
Уравнение х⁴-8х²+16=0 имеет 2 корня, т.к. квадратное уравнение имеет 1 корень (Д=0).
И последняя пара.
Уравнение х⁴+8х²+16=0 не имеет корней, т.к. хотя и Д=0, но корень-то отрицательный.

8. 
   Результаты исследования.
   

Итоги исследования мы поместим в таблицу.

Таблица исследования числа решений биквадратных уравнений.

№	Уравнение	Знак дискриминанта	Корни нового уравнения	Знаки корней нового уравнения	Корни исходящего уравнения	Кол-во решений биквадратного уравнения
1	х4-10х2+9=0	D˃0	z1=1, z2=9	z1˃0, z2˃0	x1,2=±1, x3,4=±3.	4
2	2х4 –х2-1=0	D˃0	z1=1, z2=-0,5	z1˃0, z2<0	x1,2=±1.	2
3	х4+5х2+4=0	D˃0	z1=-4, z2=-1	z1<0, z2<0	Корней нет	0
4	2х4+5х2+4=0	D<0	Корней нет	-	Корней нет	-
5	х4-8х2+16=0	D=0	z=4	z˃0	x1,2=±2	2
6	х4+8х2+16=0	D=0	z=-4	z0	Корней нет	0

9. 
   Задание на дом.
   

§10, стр. 62-63. № 189, стр.63

10. 
    Итог урока.
    

Оцените, достигли ли вы намеченных целей и задач урока?

Кто считает, что достиг целей урока – поднимите руку.

Ученики читают вопросы на слайде и отвечают на них.

1. 
   Какие же уравнения называются биквадратными? (Определение)
   
2. 
   Алгоритм решения биквадратного уравнения?
   
3. 
   От чего зависит число решений биквадратного уравнения?