Линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r² -5 r + 4 = 0

D = (-5)² - 4 • 1 • 4 = 9

r₁ = 1

r₂ = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y₁ = e^x

y₂ = e^4x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:

f(x) = 5•e^3•x

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное решение

y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 5, Q(x) = 0, α = 3, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 3 + 0i не является корнем характеристического уравнения .

Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:

y' = 3•A•e^3x

y'' = 9•A•e^3x

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' -5y' + 4y = (9•A•e^3x) -5(3•A•e^3x) + 4(Ae^3x) = 5•e^3•x

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

-2A = 5

Решая ее, находим:

Частное решение имеет вид:

y^* = -2¹/₂e^3x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: