Сандарды эем де белгілеу. Екілік, сегіздік, он алтылық санақ жүйелері

Санау жүйелері екі топқа бөлінеді: позициялық және позициялық емес.

Позициялық емес санау жүйесінде санның әрбір цифрының мәні оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесінің сымалы ретінде римдік жүйені алыға болады. Бұл жүйеде жазылған ХХХ санында Х цифры кез келген позицияда 10-ды білдіреді.

Позициялық емес санау жүйесінде арифметикалық амалдарды орындау едәуір күрделі болғандықтан, бүкіл дүние жүзі біртіндеп позициялық санау жүйесіне ауысты.

Позициялық санау жүйесінде цифрдың мәні оның орнына тәуелді№ мысалы, 737,7 санындағы бірінші тұрған 7 жүздікті, екіншісі – 7 бірлікті, ал үшіншісі –бірліктің 7 ондық үлесін білдіреді. Кез келген позициялық санау жүйесі өзінің негізімен сипатталады.

Позициялық санау жүйесінің негізі деп онда қолданылатын цифрлар санын айтады.

Жүйенің негізі ретінде екі, үш, төрт, т.с.с. – кез келген натурал санды алуға болады. Демек, позициялық жүйенің сансыз көп болуы мүмкін: екілік, үштік, төрттік, т.с.с.

Негізі q санау жүйелерінің әрқайсысында сандардың жазылуы

an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 +… + a-mq-m өрнегінің қысқартылған жазылуын білдіреді, мұнда а1 – санау жүйесінің цифрлары; n мен m сәйкес бүтін және бөлшек разрядтардың саны.

Ондық санау жүйесі

Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санның жазылуында цифрдың мәні оның позициясына немесе сандағы орнына байланысты.Санның цифрына бөлінетін позицияны разряд деп атайды.

Мысалы, 425 саны жазуы санның 4 жүздіктен, 2 ондықтан және 5 бірліктен тұратын білдіреді. Егер осы цифрларды басқа ретте жазатын болсақ, мысалы, 524, онда сан 5 жүздіктен, 2 ондықтан және 4 бірліктен тұрады. Мұнда 5 цифрының салмағы ең үлкен болады да, санның үлкен цифры деп аталады, ал 4 цифры – кіші салмақты және осы санның кіші цифры деп аталады. Егер 524 санын қосынды түрінде жазсақ, 5 * 102 + 2 * 101 + 4 * 100

Сонымен, ондық санның кез келген цифрының салмағын онның белгілі бір бүтін дәрежесі, ал дәреженің мәнін сәйкес цифрдың позициясы көрсетеді.

Екілік санау жүйесі

Компьютерде, әдетте ондық емес, позициялық екілік санау жүйесі, яғни негізгі «2» санау жүйесі қолданылады.

Екілік жүйеде кез келген сан 0 мен 1 цифрларының көмегімен жазылады да, екілік сан деп аталады.

Екілік санды тек 0 мен 1 цифрларынан тұратын ондық саннан ажырау үшін, екілік санның жазбасының индексіне екілік санау жүйесінің белгісі тіркеледі, мысалы, 110101,1112

Екілік санның әрбір раздядын бит деп атайды.

Екілік санау жүйесінің маңызды құндылығы – цифрларды физикалық кескіндеудің ыңғайлылығы және компьютер құрылғысының, атап айтқанда екілік сандармен арифметикалық және логикалық операцияларды орындауға арналған арифметикалық-логикалық құрылғысының қарапайымдылығы.

Ондық сандар сияқты, кез келген екілік санды оның құрамына кіретін цифрлардың салмағының айырмашылығын бейнелейтін қосынды түрінде жазуға болады. Бұл қосындыда негіз ретінде 2 саны қолданылады. Мысалы, 1010101,101 екілік саны үшін қосынды мына түрде болады:

1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23+ 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 *2-3

Бұл қосынды ондық санға арналған қосынды ережесі бойынша жазылады. Берілген мысалда екілік сан жеті орынды бүтін және үш орынды бөлшек бөліктерден тұрады. Сондықтан бүтін бөліктің үлкен цифры, яғни бір 27-1 =26-ге көбейтіледі, бүтін бөліктің нөлге тең келесі саны 25 көбейтіледі және т.с.с., екінің дәрежелерінің кемуі бойынша бөлшек бөліктің кіші, 2-3-ге көбейтілетін үшінші цифрына дейін болады. Бұл қосындыда арифсетикалық операцияларды ондық жүйенің ережелері бойынша орындай отырып, 85,625 ондық санын аламыз. Сонымен, 1010101 екілік саны 85,625 ондық санына сәйкес немесе 1010101,1012-85,62510.

Сегіздік санау жүйесі

Сегіздік санау жүйесінде, яғни негізі «8» санау жүйесінде сандар сегіз цифрдың көмегімен көрсетіледі: 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Мысалы, 357 сегіздік санында жеті бірлік, бес сегіз және квадратталған үш сегіз бар, яғни 3578=3*82 + 5*81 + 7*80, мұндағы 357 санының индексі 8 санау жүйесін білдіреді. Жазылған қосындыда арифметикалық амалдарды ондық жүйенің ережелері бойынша орындай отырып, 3578=23910 екенің аламыз, яғни 357 сегіздік саны 239 ондық санына сәйкес.

Оналтылық санау жүйесі

Екілік санау жүйесі компьютерден тыс қолдануға қолайсыз окенін біз жоғарыда айтқанбыз. Мысалы, 89512810=110110101000100110002.

Екілік сандарды жазуды қысқарту үшін негізі 16 санау жүйесін қолданады. Бұл жүйені оналтылық деп атайды.

Оналтылық позициялық санау жүйесінде санды жазу үшін ондық санау жүйесінің цифрлары 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 және жетпейтін алты цифрды белгілеу үшін 10, 11, 12, 13, 14 және 15 ондық сандаррының мәніне сәйкес латын алфавитінің алғашқы үлкен әріптері: A, B, C, D, E, F қолданылады. Сонымен, ондық жүйенің барлық цифрлары және бұдан басқа алты латын әрпі оналтық санау жүйесінің «цифрларын» болып табылады.

Оналтық санау жүйесінің барлық цифрларын келтірейік: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Оналтық санау жүйесінде F санынан кейін ондық жүйеде 15+1= 16 дегенге сәйкес F + 1 саны келеді. Сондықтан оналтық сан, мысалы, мына 3Е5А1 түрде болуы мүмкін. Бұл санды негізі 16 екенін ескеріп, қосынды түрінде жазсақ:

3Е5А116=3*164 + Е*163 + 5*162 + А*161 + 1*160.

Арифметикалық операцияларды ондық жүйенің ережелері бойынша орындай отырып және А=10, E=14 екенін ескеріп, 3Е5А116=25539310 теңдігін аламыз. Ондық жүйеге қарағанда, оналтылық жүйеде сан ықшамды жазылатынына көңіл аударыңдар.
Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру

Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне ауыстыру қажеттілігі жиі кездеседі. Санды екілік, сегіздік немесе оналтылық жүйелерден ондық жүйеге ауыстыру жоғарыда көрсетілген.

Сандарды екілік жүйеден оналтылық санау жүйесіне ауыстыру

Екілік санды оналтылық санау жүйесіне жоғарыдағыға ұқсас түрлендіреді: әрбір түрлендіретін екілік сан оңнан салға қарай әрқайсысында төрттен екілік сан бар топтарға бөлінеді, өйткені оналтылық саннын кез келген цифрын жазу үшін төрт екілік цифр қажет.

Ондық жүйе Екілік жүйе Оналтылық жүйе

0 0000 0

2 0010 2

4 0100 4

6 0110 6

8 1000 8

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

Сондықтан алдыңғы мысалды қолданылған 1101111011 екілік санды төрт екілік цифрлардан тұратын топтарға бөлгеннен кейін, 11 0111 1011 сияқты жазып және әр топты оналтылық цифрмен ауыстырғаннан кейін, 37В оналтылық санын алуға болады.

Бұл тепе-теңдіктерді оңай тексеруге болады. Мысалы, 10112=1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20=1110=B16.
Бақылау сұрақтар:

1.Ақпарат денегіміз не?

2.Ақпараттың қандай түрлерің білесіз?

3.Мәліметтер деп нені айтамыз?

4.Мәліметтерге қандай амалдар қолданылады?

5.Мәліметтер қандай құрылымдардан тұрады?

6.Сызықтық құрылымды мәліметтерге мысалдар келтіріңіздер.

7.Кестелік құрылымды мәліметтерге мысалдар келтіріңіздер.

8.Иерархиялық құрылымды мәліметтерге мысалдар келтіріңіздер.

9.Информатика пәні қандай ұғымдарды қарастырады?

10.Информатиканың негізгі мәселесі қандай бағыттардан тұрады?

11.Қолданушы интерфейсі деп нені айтады?

12.Позициялық санау жүйесі деп нені атайды?

13.Позициялық емес санау жүйесі деп нені атайды?