- Сынау нәтижесінде мүмкін болатын мәндерден алдын-ала белгісіз бір ғана мәнді тәжірбие нәтижесіне байланысты қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деп атаймыз.
-
- Кездейсоқ шамаларды X,Y,Z, бас әріптермен, ал олардың қабылдайтын мәндерін x,y,z кіші әріптермен белгілейміз.
-
- Мысалы, егер Х кездейсоқ шамасының қабылдай алатын үш мүмкін мәндері бар болса, онда оларды х1, х2, х3 деп белгілейміз.
- Дискретті (үздікті) кездейсоқ шама деп белгілі ықтималдықтары бар жеке, дербес мәндерді қабылдай алатын шаманы айтамыз.
- Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің саны ақырлы немесе ақырсыз болуы мүмкін.
- Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы деп оның қабылдай алатын мүмкін мәндері шаманың мен ықтималдықтарының арасындағы сәйкестікті айтамыз.
- Оны кестелік түрде, аналитикалық (формула түрінде) және графиктік түрде беруге болады.
- Дискретті кездейсоқ таралу заңы кестелік түрде берілсе бірінші жолға мүмкін мәндері, екінші жолға олардың сәйкес ықтималдықтары жазылады:
- Х х1 х2 ... xn
- Р Р1 Р2 ... Рn
- Нормалдау шарты: .
- Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі.
-
- Анықтама: Х кездейсоқ шамасының қабылдай алатын барлық мүмкін мәндерімен оның сәйкес ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысы дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі деп аталады.
-
- Айталық, Х кездейсоқ шамасы х1, х2,..., хn мәндерін қабылдай алатын болсын, олардың сәйкес ықтималдықтары р1, р2,...,рn тең болсын. Онда Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімі былай анықталады:
- М(х)=х1р1+х2р2+...+хnрn.
- Егер Х дискретті кездейсоқ шамасы санаулы жиынның мүмкін мәндерін қабылдаса, онда
- Математикалық күтімнің қасиеттері
- Тұрақты шаманың математикалық күтімі өзіне тең, яғни С тұрақты болса: М(С)=C.
- Тұрақты көбейткішті математикалық күтімнің алдына шығаруға болады:
- М(СХ)=СМ(Х).
- 3. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда көбейтіндінің математикалық күтімі көбейткіштердің математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең:
- 4. Екі кездейсоқ шаманың қосындысының математикалық күтімі, қосылғаштардың математикалық күтімдерінің қосындысына тең:
- М(Х+У)=М(Х)+М(У).
- Кездейсоқ шаманың оның математикалық күтімінен ауытқуы
- Х-кездейсоқ шама және М(Х)- оның математикалық күтімі болсын. Жаңа кездейсоқ шама ретінде Х-М(Х) айырымын қарастырамыз.
- Анықтама: Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімінің айырымы ауытқу деп аталады.
- Ауытқу мынадай таралу заңымен беріледі:
- Теорема: Ауытқудың математикалық күтімі 0-ге тең:
- Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы (шашылуы) деп кездейсоқ шаманың математикалық күтімінен ауытқуының квадратының математикалық күтімін айтамыз
- Теорема: Дисперсия Х кездейсоқ шамасының квадратының математикалық күтімі мен математикалық күтімнің квадратының айырымына тең:
- Дисперсияның қасиеттері
- С тұрақты шамасының дисперсиясы 0-ге тең: D(С)=0.
- Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады
- 3. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда қосындының (айырманың) дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең:
-
- Орта квадраттық ауытқу
- Кездейсоқ шаманың орта мәнінің маңайындағы мүмкін болатын мәндердің шашылуын бағалау үшін сипаттамалар да қарастырылады. Оған орта квадраттық ауытқу жатады.
- Анықтама: Х кездейсоқ шамасының орта квадраттық ауытқуы деп дисперсияның квадрат түбірін айтамыз:
- Таралу функциясы
- Х кездейсоқ шамасының сан осінде х-тің сол жағында жататын мәндерді қабылдайтын ықтималдықты анықтайтын функциясын таралу функциясы деп атайды, яғни
-
- Кейде “Таралу функциясы”(терминінің) орнына “Интегралдық функция” деген термин де қолданылады.
- Таралу функциясының қасиеттері
- Таралу функциясының мәндері [0; 1] аралығында жатады;
- F(x)-кемімейтін функция, егер х2>x1 болса, онда , теңсіздігі орындалады.
- Салдар 1: Х кездейсоқ шамасы (a,в) аралығында жататын мәндерді қабылдау ықтималдығы таралу функциясының осы аралықтағы өсімшесіне тең, яғни
-
- Салдар 2: Үздіксіз Х кездейсоқ шамасының анықталған бір ғана мәнге ие болу ықтималдығы 0-ге тең.
- Салдар 3: Егер кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері (а; в) аралығында жатса, онда
- , егер ;
- 2) егер
- Келесі шектік қатынастар орындалады
- Таралу функциясының графигі
- Таралу функциясының графигі у=0, у=1(1-ші қасиеті) түзүлерімен шектелген жолақта орналасқан. X (a; b) интервалында өскенде, кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің графигі ‘’жоғары көтеріледі’’.
- Егер болса, графиктің ординатасы 0-ге тең;
- Егер болса, графиктің ординатасы 1-ге тең.
- Биномиалдық таралу
- n тәуелсіз сынақ жүргізілсін, әрбір сынақ нәтижесінде А оқиғасы пайда болуы мүмкін немесе пайда болмауы мүмкін. Әрбір тәжірбиеде оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және р-ға тең (сәйкесінше оқиғаның пайда болмау ықтималдығы q=1-p) .
- Х дискретті кездейсоқ шамасын А оқиғасының осы жүргізілген сынақтағы саны деп қарастыралық.
- Х шамасының таралу заңын табайық.
- А оқиғасы пайда болмауы мүмкін немесе 1 рет, 2 рет,..., немесе n рет пайда болуы мүмкін. Яғни х-тің мүмкін мәндері мынандай: х1=0, х2=1, х3=2,..., хn+1= n. Осы мүмкін мәндерінің сәйкес ықтималдықтарын табу үшін Бернулли формуласын қолданамыз:
- (*)
- мұнда к=0, 1, 2,..., n.
- Биномиалдық заңды кесте түрінде жазамыз:
- Пуассон таралуы:
- Егер n тым үлкен болса, онда Лапластың асимптоталық формуласы қолданылады. Егер оқиға ықтималдығы (р0.1) болса, онда Бернулли формуласы жарамсыз. Осы жағдайларда (n тым үлкен, р аз) Пуассонның асимптоталық формуласы қолданылады.
- Мынандай есеп қоямыз: оқиға ықтималдығы өте аз, сынақтың саны өте үлкен болған жағдайда оқиғаның к рет пайда болу ықтималдығын табу керек.
- nр көбейтіндісі тұрақты шама деп қарастырамыз, яғни np= .
- Әртүрлі сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығы, n-нің әртүрлі мәндерінде өзгеріссіз қалады. Осылайша
- Бұл формула (n үлкен) және (р аз) сирек оқиғалар үшін Пуассонның таралу заңы деп аталады.
- Қалыпты таралу заңы
- Таралуы қалыпты таралу деп аталады, үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы
-
- формуласымен сипатталсын.
- Қалыпты таралу 2 параметр бойынша анықталады: және . Қалыпты таралуды беру үшін осы параметрлерді білу жеткілікті.
- Бұл параметрлер:
- - математикалық күтім, - қалыпты таралудың орта квадраттық ауытқуы.
- Қалыпты таралудың математикалық күтімі a- параметріне тең:
-
- Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының таралу тығыздығы
- Анықтама: Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы F(x)-тің туындысы бар болса, онда F(x) туындысын Х шамасының ықтималдықтар таралу тығыздығы деп атайды және оны былай белгілейді:
- Таралу тығыздығы үшін таралу функциясы алғашқы функция болып табылады.
- Теорема: Х кездейсоқ шамасының (а,в) интервалындағы мәнге ие болу ықтималдығы шектері а-дан в-ға дейінгі алынған таралу тығыздығының анықталған интегралына тең:
-
- Үздіксіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
- Х үздіксіз кездейсоқ шамасы f(x) таралу тығыздығымен берілсін.
- Мүмкін мәндері [а,в] кесіндісінде жататын Х үздіксіз кездейсоқ шамасының математикалық күтімі деп:
- анықталған интегралды айтамыз.
- Барлық мүмкін мәндері Ох осінде жатса, онда
-
- Анықтама: Үздіксіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы оның ауытқуының квадратының математикалық күтімiне тең:
- Егер Х-тің қабылдайтын мүмкін мәндері Х осінің бойында жатса, онда
-
- Үздіксіз кездейсоқ шамасының орта квадраттық ауытқуы дискретті кездейсоқ шаманың орта квадраттық ауытқуы сияқты анықталады,
-
- Қалыпты кездейсоқ шаманың берілген аралыққа
- түсу ықтималдығы
-
- Егер Х кездейсоқ шамасы таралу тығыздығымен берілсе, онда Х-тің аралығында жататын барлық мәндерді қабылдау ықтималдығы:
- Х кездейсоқ шамасы қалыпты таралу заңы бойынша берілсін. Х-тің онда аралығында жататын мәндерді қабылдау ықтималдығы мынаған тең:
- Лаплас функциясын енгізсек
- Негізгі әдебиеттер:
- Сағынтаев С.С., Сағынтаева С.А. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтерi. Қарағанды, 1999.
- Бектаев К. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикаң. Алматы. «Рауан». 1991.
- Морозов В.Ю. Основы высшей математики и статистики. Москва. Медицина. 2001.
- Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа», 2001.
- Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М., “Высшая школа”, 2001.
- Ремизов А.Н., Исакова Н.Х. Сборник задач по медицинской и биологической физике. Москва. “Высшая школа” 1987
- Қосымша әдебиеттер:
- Қазешов А.Қ. және т.б. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша есептер шығару. –Алматы, 1996.
Достарыңызбен бөлісу: |
