Теңсіздіктерді дәледеуге берілген есептерді шешу алгоритімі Теңсіздікті дәлелдеу

1-мысал. m және n сандарының арифметикалық ортасы, олардың геометриялық ортасынан кіші емес екенін дәлелдейік. Яғни,.

Дәлелдеуі: Берілген теңсіздіктің екі жағын да 2 санына көбейтейік: .

Шыққан теңсіздіктің екі жағын да квадраттап, түрлендіргенде шығатыны: немесе m²-2mn+n²≥0. Бұдан шығатыны (m-n)²≥0. Соңғы теңсіздік кез келген m және n үшін орындалғандықтан, теңдігі дұрыс.

2-мысал. Егер x және y сандарының қосындысы тұрақты және x=y болса, онда олардың көбейтіндісі ең үлкен болатынын дәлелдейік.

Дәлелдеуі:

Тіктөртбұрыштың ұзындығы x, ал енін y арқылы белгілейік. Сонда тіктөртбұрыштың периметрі 2(x+y). x+y=a деп алайық, мұндағы a – тұрақты сан. Егер x=y болса, онда тіктөртбұрыштың ұзындығы мен ені өзара тең және әрқайсысы -ге тең болады. Сонда тіктөртбұрыш квадратқа айналып, оның xy ауданы береді.Енді басқа жағдайларда, яғни x≠y болса, тіктөртбұрыштың ауданы xy=екенін дәлелдеу керек. Ол үшін соңғы теңсіздікті дәлелдейік:

4xy²,

4xy<(x+y)²,

4xy²+2xy+y²,

0²+2xy+y²-4xy,

0²-2xy+y²,

0<(x-y)².

Сондықтан тізбектей түрлендіру арқылы берілген теңсіздікке мәндес 0<(x-y)²теңсіздігіналамыз. Ал соңғы теңсіздік x≠y болғанда дұрыс. Демек, берілген теңсіздік те x≠y болғанда, дұрыс болады.

1. 
   1- мысалдағы теңсіздіктің дәлелдеуінде қандай ұғымдар қолданылды?
   
2. 
   Теңсіздікті дәлелдеудің теңсіздікті шешуден айырмашылығы неде?
   

123 есеп. а) (x+y)²≥4xy.

Шешуі: x²+2xy+y²≥4xy

x²+2xy+y²-4xy≥0

x²-2xy+y²≥0

(x-y)²≥0

x³-x²y+y³-xy²≥0

x²(x-y)+y²(y-x)≥0

x²(x-y)-y²(x-y)≥0

(x-y)(x²-y²)≥0

x-y≥0, (x²-y²)≥0(x>0, y>0).

125 есеп. а –ның кез келген мәнінде теңсіздік ақиқат бола ма?

а)

(1+а)²≥4а

1+2а+а²-4а≥0

1-2а+а²≥0

(1-а)²≥0 теңсіздігі ақиқат.

ә) 4а²+1≥4а

4а²+1-4а≥0

(2а-1)²≥0 теңсіздігі ақиқат.

б) а²+2а≥-1

а²+2а+1≥0

(а+1)²≥0 теңсіздігі ақиқат.

128 есеп. a⁴+b⁴≥a³b+ab³, мұндағы a≥0, b≥0.

a⁴+b^4-a³b-ab³≥0

a³(a-b)+b³(b-a)≥0

a³(a-b)-b³(a-b)≥0

(a-b)(a³-b³)≥0

(a-b)≥0, (a³-b³)≥0 ақиқат болады.

(a+b) (≥4

(a+b) (≥4

≥4

(a+b)²≥4ab

a²-2ab+b²≥0

(a-b)²≥0 болады.
Үйге тапсырма: 
Теңсіздіктерді дәлелдеу.
І. Қарапайым теңсіздіктерді дәлелдеу

Мектеп көлемінде қарапайым теңсіздіктер дәлелденеді, сол теңсіздіктер арқылы күрделі теңсіздіктерде дәлелденеді.

№1 а² + b² ≥ 2ab.

II. Штурм әдісін қолданып теңсіздікті дәлелдеу

Бұл әдісті неміс математигі Р.Штурм ұсынған. Бұл әдістің көмегімен бірнеше теңсіздікті дәлелдейік: