Теңсіздіктерді дәледеуге берілген есептерді шешу алгоритімі
Теңсіздікті дәлелдеу депайнымалының кез келген мәнінде теңсіздіктің орындалатынын көрсетуді айтады.
1-мысал. m және n сандарының арифметикалық ортасы, олардың геометриялық ортасынан кіші емес екенін дәлелдейік. Яғни,.
Дәлелдеуі: Берілген теңсіздіктің екі жағын да 2 санына көбейтейік: .
Шыққан теңсіздіктің екі жағын да квадраттап, түрлендіргенде шығатыны: немесе m2-2mn+n2≥0. Бұдан шығатыны (m-n)2≥0. Соңғы теңсіздік кез келген m және n үшін орындалғандықтан, теңдігі дұрыс.
2-мысал. Егер x және y сандарының қосындысы тұрақты және x=y болса, онда олардың көбейтіндісі ең үлкен болатынын дәлелдейік.
Дәлелдеуі:
Тіктөртбұрыштың ұзындығы x, ал енін y арқылы белгілейік. Сонда тіктөртбұрыштың периметрі 2(x+y). x+y=a деп алайық, мұндағы a – тұрақты сан. Егер x=y болса, онда тіктөртбұрыштың ұзындығы мен ені өзара тең және әрқайсысы -ге тең болады. Сонда тіктөртбұрыш квадратқа айналып, оның xy ауданы береді.Енді басқа жағдайларда, яғни x≠y болса, тіктөртбұрыштың ауданы xy=екенін дәлелдеу керек. Ол үшін соңғы теңсіздікті дәлелдейік:
4xy2,
4xy<(x+y)2,
4xy2+2xy+y2,
02+2xy+y2-4xy,
02-2xy+y2,
0<(x-y)2.
Сондықтан тізбектей түрлендіру арқылы берілген теңсіздікке мәндес 0<(x-y)2теңсіздігіналамыз. Ал соңғы теңсіздік x≠y болғанда дұрыс. Демек, берілген теңсіздік те x≠y болғанда, дұрыс болады.
1- мысалдағы теңсіздіктің дәлелдеуінде қандай ұғымдар қолданылды?
Теңсіздікті дәлелдеудің теңсіздікті шешуден айырмашылығы неде?
Тапсырмалар:
123 есеп. а) (x+y)2≥4xy.
Шешуі: x2+2xy+y2≥4xy
x2+2xy+y2-4xy≥0
x2-2xy+y2≥0
(x-y)2≥0
ә) x3+y3≥x2y+xy2 (x>0, y>0)
x3-x2y+y3-xy2≥0
x2(x-y)+y2(y-x)≥0
x2(x-y)-y2(x-y)≥0
(x-y)(x2-y2)≥0
x-y≥0, (x2-y2)≥0(x>0, y>0).
125 есеп. а –ның кез келген мәнінде теңсіздік ақиқат бола ма?
а)
(1+а)2≥4а
1+2а+а2≥4а
1+2а+а2-4а≥0
1-2а+а2≥0
(1-а)2≥0 теңсіздігі ақиқат.
ә) 4а2+1≥4а
4а2+1-4а≥0
(2а-1)2≥0 теңсіздігі ақиқат.
б) а2+2а≥-1
а2+2а+1≥0
(а+1)2≥0 теңсіздігі ақиқат.
128 есеп. a4+b4≥a3b+ab3, мұндағы a≥0, b≥0.
a4+b4-a3b-ab3≥0
a3(a-b)+b3(b-a)≥0
a3(a-b)-b3(a-b)≥0
(a-b)(a3-b3)≥0
(a-b)≥0, (a3-b3)≥0 ақиқат болады.
129 есеп. а) (a+b) (≥4 a≥0, b≥0
(a+b) (≥4
(a+b) (≥4
≥4
(a+b)2≥4ab
a2+2ab+b2≥4ab
a2-2ab+b2≥0
(a-b)2≥0 болады.
Үйге тапсырма:
Теңсіздіктерді дәлелдеу.
І. Қарапайым теңсіздіктерді дәлелдеу
Мектеп көлемінде қарапайым теңсіздіктер дәлелденеді, сол теңсіздіктер арқылы күрделі теңсіздіктерде дәлелденеді.
№1 а2 + b2 ≥ 2ab.
II. Штурм әдісін қолданып теңсіздікті дәлелдеу
Бұл әдісті неміс математигі Р.Штурм ұсынған. Бұл әдістің көмегімен бірнеше теңсіздікті дәлелдейік:
№3 Егер  қосындысы 1-ге тең болса, онда  дәлелдеу керек
Достарыңызбен бөлісу: | 
