Точками, прямыми

жүктеу/скачать 14,16 Kb.

Дата	06.02.2022
өлшемі	14,16 Kb.
	#80325

Байланысты:
Аксиома в геометрии

1. Аксиомы принадлежности.
3. Аксиомы меры для отрезков и углов.
4. Аксиома существования треугольника, равного данному.
5. Аксиома параллельных 5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. 6. Аксиомы стереометрии
5. Аксиома параллельности. 5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной. 6. Аксиома Архимеда.

В Энциклопедии элементарной математики [1] евклидово пространство определяется как совокупность объектов трех видов, называемых точками, прямыми и плоскостями,и преобразованиями, переводящими совокупность всех точек в себя, называемые движениями. Между этими объектами определены отношения: точка принадлежит прямой (прямая проходит через точку), точка принадлежит плоскости (плоскость проходит через точку), прямая лежит на плоскости, точка лежит между двумя другими точками.
Указанные объекты и отношения удовлетворяют следующим аксиомам.
1. Аксиомы принадлежности.
1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Аксиомы порядка.
2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
3. Аксиомы меры для отрезков и углов.
3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180⁰ . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
3.3. Каково бы ни было вещественное число d > 0, существует отрезок длины d.
4. Аксиома существования треугольника, равного данному.
4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
5. Аксиома параллельных
5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
6. Аксиомы стереометрии
6.1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
6.2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
6.3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
В курсе элементарной геометрии Д.И.Перепелкина [4] рассматриваются следующие аксиомы геометрии.
1. Аксиомы соединения.
1.1. Через любые две данные точки проходит одна и только одна прямая.
1.2. На каждой прямой имеется бесчисленное множество точек.
1.3. Существуют точки, не лежащие на одной прямой.
1.4. Через любые три данные точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
1.5. На каждой плоскости имеется бесчисленное множество точек.
1.6. Если две точки данной прямой лежат на некоторой плоскости, то и все точки этой прямой лежат на той же плоскости.
1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и вторую общую точку.
1.8. Существуют точки, не лежащие на одной плоскости.
2. Аксиомы порядка.
2.1. Из трех точек одной прямой всегда одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Если A и B – две данные точки, то на прямой AB существует как бесчисленное множество точек, лежащих между A и B, так и бесчисленное множество точек, для которых точка B лежит между точкой A и каждой из этих точек.
2.3. Всякая точка O, лежащая на прямой, разделяет остальные точки этой прямой на два класса так, что точка O лежит между любыми двумя точками различных классов, но не лежит между двумя точками одного класса.
2.4. Всякая прямая, лежащая в некоторой плоскости, делит эту плоскость на две выпуклые области. 4. Аксиомы окружности.
4.1. Если один конец отрезка лежит внутри окружности, а другой – вне окружности, то отрезок имеет с окружностью общую точку.
4.2. Если один конец некоторой дуги окружности лежит внутри другой окружности, а другой конец – вне окружности, то дуга окружности и вторая окружность имеют общую точку.
5. Аксиома параллельности.
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.
6. Аксиома Архимеда.
6.1. Каковы бы ни были два данных отрезка, всегда найдется такое кратное меньшего отрезка, которое превосходит больший.
7. Аксиома Кантора.
7.1. Если дана безгранично убывающая последовательность вложенных отрезков, то существует такая точка, которая будет внутренней или конечной точкой каждого из этих отрезков.

жүктеу/скачать 14,16 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: