№1 Дәріс тақырыбы

^{№1 Дәріс тақырыбы}

Қарапайым (жай) дифференциалдық теңдеудің фундаменталды шешімдер жүйесі
Аннотация. Сызықты қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін фундаменталды шешімдер жүйесінің бар болуы туралы теорема дәләлденеді және мысалдармен нақтыланады.

Кілт сөздер: қатар, фундаменталды шешім, дифференциалдық теңдеу, аналитикалық, сызықты тәуелсіз.

Жоспары

1. 
   Вронский анықтаушысының анықтамасы.
   
2. 
   Фундаменталды шешімдер жүйесін құру.
   
3. 
   Фундаменталды шешімдер жүйесінің бар болу шарттары.
   

Дәріс тезистері

Фундаменталды шешімдер жүйесі туралы түсінік

Біртекті дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз

Ly  y^n  p xy^n1  p
1

2


xy^n2  ...  p
n1

xy^  p_n

xy  0

(1а)

Біртекті дифференциалдық теңдеудің a,b

интервалында анықталған және сызықты

тәуелсіз n шешімдерінің жиыны фундаменталды шешімдер жүйесін құрайды, егер (1а) теңдеудің коэффициенттері үзіліссіз болатын интервалдың ең болмағанда бір нүктесінде осы шешімдердің вронскианы нөлден өзгеше болса. Фундаменталды жүйеге енетін барлық шешімдер нөлдік емес.

Мысал. Біртекті екінші ретті дифференциалдық теңдеуді қарастырайық

y^  y  0

(2а)

Осы теңдеу үшін

y₁  cos x ,

y₂  sin x функциялары  ,

аралығында

фундаменталды шешімдер жүйесін құрайды. Бұл функциялар (2а) теңдеуге

қанағаттандыратын және  , аралығында сызықты тәуелсіз болғандықтан

фундаменталды шешімдер жүйесін құрайды.

Енді олардың сызықты тәуелсіз екендігіне көз жеткізу үшін вронскианның көмегімен тексереміз:

W x 

cos x

• 
  sin x
  

sin x

cos x

 cos² x  sin² x  1  0.

(3а)

(2а) теңдеудің басқа да фундаменталды шешімдер жүйесі бар. Мысалы, мына түрдегі

y₁  k cos x ,

y₂  k sin x

функциялардың әр жұбы (2а) теңдеудің фундаменталды

шешімдер жүйесін құрайды,

мұндағы k – кез келген нөлден өзгеше тұрақты сан.