Фундаменталды шешімдер жүйесінің бар болуы туралы

Фундаменталды шешімдер жүйесінің бар болуы туралы

(2а) түрдегі біртекті сызықты теңдеудің фундаменталды шешімдер жүйесі шексіз жиын болатынын көрсеттік.

(1а) теңдеудің фундаменталды шешімдер жүйесінің бар болуына байланысты теореманы келтіреміз.

Теорема.

Егер (1а) теңдеудің коэффициенттері a,b интервалында үзіліссіз болса, онда осы интервалда анықталған, үзіліссіз фундаменталды шешімдер жүйесі бар болады.

Дәлелдеуі.

a,b интервалынан x  x₀ нүктесін алып, Пикар әдісін қолдана отырып, бастапқы

шарттармен

y₁ шешімін құрайық:

y  1, y ^  0, y ^  0, …, y ^n1  0, егер x  x

. (4а)

1 1 1 1 0

Содан соң, осы Пикар әдісін қолданып, бастапқы шарттармен

y₂ шешімін құрайық:

және т.с.с.

2

2

2


y₂  0,

y ^  1,

y ^  0,…,

_y n1 _{ 0,}

x  x₀

, (5а)

Енді,

y_n шешімін құрамыз:

y_n  0,

y ^  0,

y ^  0, …,

_y n1 _{ 1,}

x  x₀

. (6а)

x  x₀
n

n

n

нүктесіндегі құрылған шешімдердің вронскианын есептеп, мынаны аламыз:

(7а)

Сонымен, y₁ , y₂ ,…, y_n - фундаменталды шешімдер жүйесі, олардың әрқайсысы Пикар

	1	0	0 ... 0
	0	1	0 ... 0
W x0  	0	0	1 ... 0	 1  0.
	...	...	... ... ...
	0	0	0 ... 1

теоремасына сәйкес a,b интервалында анықталған.

Дәлелдеуден фундаменталды шешімдер жүйесінің шексіз жиынды құрайтындығы әдістің өзінен-ақ көрініп тұр.

Сондай-ақ, (4а)-(6а) теңдіктердегі 1 мен 0-дің орнына анықтауышы нөлге тең

болмайтын n² сандарын алуға болады. Онда W x   0 және тағы да біз фундаменталды

0

шешімдер жүйесін аламыз. (4а)-(6а) – бастапқы шарттармен фундаменталды шешімдер

жүйесі

x  x₀

нүктесінде нормаланған деп аталады.

Кез келген үзіліссіз коэффициентті (1а) түрдегі біртекті сызықты теңдеудің коэффициенттері үзіліссіз болатын интервалдың берілген кез келген нүктесінде тек бір ғана нормаланған фундаменталды шешімдер жүйесі бар болады.

Ескерту.

Егер мына облыста x  x₀   0     (1а) теңдеудің коэффициенттері

голоморфты болса, онда Коши теоремасы бойынша ең болмағанда осы облыста голоморфты фундаменталды шешімдер жүйесі бар болады. Дербес жағдайда, мына

облыста

x  x₀  

голоморфты,

x  x₀

нүктесінде нормаланған тек бір ғана

фундаменталды шешімдер жүйесі бар болады.

№1 Практикалық сабақ тақырыбы

Қарапайым (жай) дифференциалдық теңдеудің фундаменталды шешімдер жүйесі

1. 
   мысал. Біртекті үшінші ретті дифференциалдық теңдеудің
   

y^  y^  0

фундаменталды шешімдер жүйесін табыңыз.

Шешімі. Осы теңдеудің характеристикалық теңдеуі:

k³  k ²  0 ,

k ² k 1  0 .

Онын түбірлері

k_1,2  0,

k₃  1. Онда берілген теңдеудің шешімі:

y₁  1,

y₂  x,

y  e^x .

Осы шешімдердің вронскианын құрамыз
3

1 x

W  0 1

0 0

_e x

• 
  _e x
  

_e x
 e^x  0 .

Демек, бұл функциялар фундаменталды шешімдер жүйесін құрайды.

2. 
   мысал. Біртекті екінші ретті дифференциалдық теңдеудің
   

y^  8y^  0

фундаменталды шешімдер жүйесін табыңыз.

Шешімі. Берілген теңдеудің характеристикалық теңдеуінің түрі:

k ²  8k  0 ,

kk  8  0 .

Характеристикалық теңдеудің түбірлері

k₁  0, k₂  8 .

Сонымен теңдеудің шешімі

y₁  1,

y  e^8x .

Табылған шешімдерден түратын вронскианды құрамыз
2

W  ¹

0

_e8 x

_8e8 x

 8e^8x  0.

Демек,

y₁ мен

y₂ фундаменталды шешімдер жүйесін құрайды.

3. 
   мысал. Біртекті екінші ретті дифференциалдық теңдеудің
   

y^  2y^  9y  0
фундаменталды шешімдер жүйесін табу керек.

Шешімі. Характеристикалық теңдеудің

D  4  36  32 ,
k ²  2k  9  0 ,

_{k }  2  4

2

2i _,

түбірлері

k₁  1  2

2i,

k₂  1  2

2i . Онда қарастырылып отырған теңдеудің шешімі

y  e^x cos 2
1

2x,

y  e^x sin 2

2x .

Осы шешімдерді пайдаланып вронскианды құрамыз:
2

W 

• 
  e^x cos 2
  

e^x cos 2 2x  2

2x

2e^x sin 2 2x

• 
  e^x sin 2
  

e^x sin 2 2x  2

2x _

2e^x cos 2 2x

 e^2x sin 2

2x cos 2

2x  2

2e^2x cos² 2

2x  e^2x sin 2

2x cos 2

2x 

 2 2e^2x sin² 2

2x  2

2e^2x  0.

Демек, бұл функциялар фундаменталды шешімдер жүйесін құрайды.