1. Есептің математиканы оқытудағы орны және міндеттері Математикалық есеп және оқушының ой іс-әрекетін дамыту Есеп шығаруға арналған әдістемеге талдау

 1. Есептің математиканы оқытудағы орны  және міндеттері

 Ғылыми ақпараттар ағынының жедел қарқынмен өсуі, жалпы білім беретін мектеп оқушыларын өз бетінше жаңа білімдер игеруге қабілетті етіп тәрбиелеу мен оқытуды талап етеді. Өз бетінше білім алуы үшін оқушы өз танымдық қызметі нысанының мәнін ұғынып, оның іс-әрекет жолдарын игеруге тура келеді. Сол себепті оқушыларды жаңа білімдерді алу технологиясын игеру жолдары мен құралдарына әдейі арнап мақсатты түрде оқыту қажеттігі туындайды.

Математика ғылым ретінде есептен пайда болған және есеп арқылы дамиды. Мектеп математикасын есепсіз құру мүмкін емес. Ресейдегі алғашқы «Арифметика» оқулығының авторы Л.Ф. Магницкий арифметикалық төрт амалды қолдануға арналған есептер жүйесін құрастырған. Математикалық есеп оқушылардың ұғымдарды, теорияны және математика әдістерін меңгерудің тиімді де, айырбасталмайтын құралы болып табылады. Оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытуда, оларды тәрбиелеуде, біліктері мен дағдыларының қалыптасуында, математиканың практикамен байланысын көрсетуде есептің алатын орны зор.

Оқу есебін және оны шығаруды оқытудың нәтижелеріне жетудің құралы ретінде айқындайтын және қарастыратын орыс дидакты (Ю.К.Бабанский, Б.П. Есипов, Т.А.Ильина, И.Я.Лернер, М.Н.Скаткин, А.В.Усова), есептерді оқытуда пайдаланудың теориясы мен практикасын дамытуда үлкен үлес қосты.

Оқушылардың математикалық білімдерді терең және берік меңгерулері, өзінің жүру барысында оқушылар бойында жаңа білімдер, біліктер мен дағдылар қалыптасатын, математикалық алғы шарттар пайда болатын, математикалық әдебиеттермен өз бетінше жұмыс істей алу дағдылары қалыптасатын оқу қызметін ұйымдастыруды қажет етеді. Бұған көп жағдайларда оқушылардың бойында негізгі математикалық білімдер, біліктіліктер мен дағдылар жүйесін қалыптастырудың, олардың математикалық дамуының маңызды құралы болып табылатын, олардың оқу қызметінің жетекші нысаны болып табылатын – есептерді тиімді пайдалану мүмкіндік тудырады.

Оқушыларды есептерді шығаруға үйрету педагогика ғылымының ең маңызды да күрделі мәселелерінің бірі болып табылады.

Қазіргі ғылыми танымда және дүниені түрлендіруде "есеп" ұғымының мәнін анықтау қажетті және өзекті мәселелердің бірі болып табылады. Аталған ұғымды пара-пар түрде талдаудың маңызды шарты қазіргі гносеологиялық ахуалдың ерекшеліктерін бүтіндей ескеру болып отыр. Бұл ерекшеліктер ғылыми танымның ерекше категориялық және методологиялық деңгейлерін қалыптастыру кезінде өз көріністерін табады.

"Есеп" ұғымының мәнін, рөлін және орнын, оны дұрыс қалыптастырудың дидактикалық функциялары мен шарттарын философиялық, жалпы ғылыми және нақты ғылыми тұрғыдан қарастыру қажет. Бөлініп көрсетілген аспектілердің диалектикалық бірлікте және әрекеттестікте жүзеге асырылуы "есеп" ұғымына талдау жасаудың жүйелі тәсілінің мазмұнын құрайды.

Америкалық ғалым Д.Пойаның "есеп" үғымын түсінуі де қызық. Ол "есеп анық көрінетін, бірақ тікелей жақындауға болмайтын мақсатқа жету үшін, оған сәйкес келетін құралдарды саналы түрде пайдалануды қажет етеді" деп көрсетеді

"Есеп" ұғымын дидактиканың жалпы және жеке бөліктеріне сай талдай отырып, біз негізгі назарды оқу есептеріне аударамыз. Оқу есептері өзінің құрылымы мен атқаратын міндеті бойынша жалпы есеп ұғымынан айырмашылық жасайды. Оқу есептері оқу қызметінің элементі болып табылады. Оқу есептері ғылыми және практикалық салалардағы проблемалардың салыстырмалы түрдегі кең ауқымды бөліктерін шешудің жалпы әдістерін ашуды және игеріп алуды қажет етеді.

Дидактикалық әдебиеттерде есеп білім беру мақсаттарына жетуге бағытталған оқу әдісі болып табалады. Мысалы, И.Я.Лернер "педагогтар құрған шығармашылық есептер түріндегі педагогикалық конструкцияларды" ерекше бөліп көрсетеді. Есептің анықтамасына қатысты психологиялық көзқарасты негіз ете отырып, ол есепті түсінуді оның мазмұны мен құрылымы арқылы ашуға тырысады. Ол "танымдық есептер" ұғымын енгізген, оның өзі үш типке бөлінеді: оқу-танымдық, жаттығу және іздену-танымдық есептер. Барлық есептердің ортақ мазмұны "аралық мүше (аралық амалдар) арқылы шешімі табылатын, негізінде белгілі мен белгісіз араларындағы қарама-қайшылықтар жататын проблема" болып табылады.

Дербес дидактикаларда оқу есептерінің әр алуан анықтамалары қолданылады. Есептердің анықтамасын оқытылатын пәндердің құрылымы арқылы анықтау ісі жиі кездеседі. Математик ғалымдар есептерді оның құрылымдық элементтері арқылы анықтайды (В.М.Брадис, В.В.Репьев, А.А.Столяр, Л.М.Фридман, Ю.М.Колягин, В.И.Крупич және т.б.). Мысалы, А.А.Столяр есепті анықтаған кезде оның талаптарын ерекше атап көрсетеді. В.В Репьев есептегі белгілі мен белгісіз арасындағы функционалдық тәуелділіктің болу қажеттігін атап көрсетеді. Б.М.Брадис есепті математикалық сұрақ арқылы анықтайды, алайда ол оның белгілерін атамайды. М Фридман есептердің құрылымдық элементтерін ерекше көрсетеді. "Проблемалық ахуалдың қандай да болмасын таңбалық моделін біз есеп деп атай алатын боламыз", - деп атап көрсетеді дейді М.Фридман.

Шығармашылық ойлау проблемаларына арналған еңбектерде (Дж.Брунер, К.Дункер, Е.И.Ефимов, В.П.Зинченко, Н.Нильсон, А.Ньюэлл, Д.А.Поспелов) есептік және есепті шығару жүйелері ерекше айқындалған. Есептік жүйеге есептің нысаны, шарты және талабы (берілген және ізделініп отырған шамалар), ал шығару жүйесіне - есептерді шығаруға қажетті алгоритмдік және эвристикалық ұйғарымдар құрудың көзі болып есептелетін ғылыми әдістер және құралдар жататын болады 

       Есеп-күрделі диалектикалық жүйе, онда оның компоненттері (есептік және шығару жүйелері) өзара бірлікте, өзара байланысты, өзара тәуелді және әрекеттестік түрде келтірілген, сол компоненттердің әркайсысы өз кезегінде сол сияты динамикалық тәуелділікте болатын элементтерден: бір жағынан - есептің нысаны, шарты және талабынан, екінші жағынан оны шығару әдістерінен және құралдарынан тұрады.

Мақсаттың қойылымына орай есептерді аудиторияда және үйде шығарылатын, жаттығу, танымдық, өзіндік, шығармашылық және зерттеушілік есептер деп бөлуге болады.

Талаптың қойылымына орай есептерді ізделіндіні табуға, құрастыруға, дәлелдеуге арналған есептер деп жіктеген жөн.

Дәрежесі және күрделілік деңгейіне орай карапайым және күрделі деп бөлуге болады. Шығару әдістеріне қарай — алгоритмдік эвристикалық есептер деп бөлуге болады.

Шығару тәсіліне қарай есептерді сандық есептер, графиктік және эксперименттік есептер, сурет — есептер деп айқындап қарастырған орынды. Ұғымды қалыптастырудағы әдісі мен рөліне байланысты есептерді ұғым белгілерін нақтылауға, ұғым көлемі мен мазмұнын нақтылауға, ұғымды дифференциалдауға (бөлшектей қарастыруға), берілген ұғымның басқа ұғымдар мен байланысын анықтауға немесе нақтылауға арналған деп айыруға болады.

Жіктелуге  ұсынылатын есеп түрлері құрылымы, құрамы, оқу үрдісінде атқаратын қызметі тұрғысынан біркелкі емес. Олардың өзі күрделілік дәрежесі әртүрлі құралған құрылым ретінде көрінетінін атап көрсету қажет. Мысалы, өндірістік — техникалық мазмұндағы есептер техникалық және политехникалық ұғымдарды қалыптастырудағы рөліне, өндірістің тиімділігінің экономикалық және экологиялық көрсеткіштеріне, техникалық ойлауды қалыптастыру мен дамытудағы рөліне т.с.с. қарай жіктелуі мүмкін. Графикалык есептерді жіктеу кезінде тәуелділіктің графигін салуға, графикалық интерпретацияларға, ізделіп отырған шаманы табуға, үрдісті талдауға, берілген график бойынша құбылыстарды, шаманың тәуелділігінің түрін және оның аналитикалық жазылуын анықтауға арналған есептерді айқындап көрсеткен орынды.

Оқу есептерін әдетте, шартты түрде стандарт және стандарт емес есептер деп ажырату орын алған. Енді осыған тоқталайық.

Есептерді оқушылардың ойлау қызметінің объектісі ретінде қарастырып, есеп элементтерінің арасындағы байланыстардың ерекшеліктеріне қарай А.Я.Цукарь оларды үш топқа бөледі:

1.Алгоритмдік

2.Жартылай эвристикалық

3.Эвристикалық.

Ол тікелей анықтама, ереже, формула, дәлелденген теоремалар жәрдемімен шығарылатын есептерді алгоритмдік топқа; шарттары сәл өзгертілген, оқушылар шығару жолын оңай табатын есептерді жартылай эвристикалық топқа; ал шарты мен талабының элементтерінің арасында (жасырын) байланыстар бар, шығару әдісі қосымша мәліметтерді, ойлауды қажет ететін есептерді эвристикалық топқа жатқызады.

Дидактикада оқушылардың таным қызметінің үш деңгейі бөліп көрсетіледі:

Бірінші деңгей - репродуктивті (төмен). Оқушылар есепті мүғалімнің басқаруымен ғана шығара алады;

Екінші деңгей - ішінара іздену (орта). Оқушылар есепті таныс жағдайлар үшін ғана шығара алады;

Үшінші деңгей - шығармашылық - зерттеушілік (жоғары). Оқушылар есепті жаңа таныс емес жағдайларда шығара алады.

Осы деңгейлерге және жоғарыдағы есептерді топтарға бөліп көрсетуге талдау жасау, таным қызметінің репродуктивті деңгейняе алгоритмдік есептер сәйкес келеді, ішінара - іздену деңгейіне жартылай эвристикалық есептер, ал шығармашылык - зерттеушілік деңгейге эвристикалық есептер (адекватты) пара-пар деген қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Бірақ таным қызметі деңгейлері арасында да, сондай-ақ оларға (адекватты) пара-пар есептер топтарының арасында да дәл айқындалған шекара жоқ екендігін есте ұстаған жөн.

Жалпы жағдайда алгоритмдік және жартылай эвристикалық есептер белгілі бір алгоритм бойынша шығарылады. Сондықтан оларды стандарт есептер тобына жатқызамыз. Эвристикалық есептер олардың шешімдерін іздеу үрдісінде жекелеген алгоритмдерді ажыратып көрсетуді қажет етеді. Бірақ ондай есептерді шығару үрдісін аяқтау үшін ажыратылып көрсетілген жекелеген алгоритмдер арасындағы өзара байланыстарды тағайындайтын эвристикалық ізденіс қажет. Олай болса, эвристикалық есептер белгілі бір алгоритм бойынша шешілмейді.

Қиындығы жоғары есептер ретіндегі эвристикалық есептердің жоғарыда сипатталып көрсетілген құрылымы оларды стандарт емес есептер тобына жатқызуға мүмкіндік береді.

Сонымен, шешу жолының мектеп математика курсында дайын ережелері (кез-келген түрдегі) бар немесе осы ережелер шешудің бағдарламасын қадамдар тізбегі (алгоритм) түрінде анықтайтын қандай да бір анықтамалар мен теоремалардан тікелей шығатын есептерді стандарт есептер деп атаймыз. Басқаша айтқанда, белгілі бір алгоритм бойынша шығарылатын есептер стандарт есептер деп аталады.

Стандарт емес есептерді шешудің жалпы ережелері мен қағидалары математика курсында жоқ. Математика мұндай ережелер жасаумен айналыспайды. Сонымен, шешу жолының мектеп математика курсында дайын ережелері жоқ есептер, басқаша айтқанда шешу жолының жалпы алгоритмі жоқ есептер стандарт емес есептер деп аталады.

Стандарт есептерге квадрат теңдеудің түбірлерін табу туралы есеп, ал стандарт емес есептерге дәлелдеуге берілген кез келген есеп мысал бола алады.

Стандарт емес есептер оқушылардың шығармашылық ойлауын дамытуға өте күшті ықпал жасайды. Оқушыларды есептерді (стандарт және стандарт емес) стандарт емес тәсілдермен шығаруға баулу олардың математикалық ойлауын дамытудың және математикалық мәдениетін калыптастырудың кұралы болып табылады.

3. Нақты ғылыми түсінік бойынша "есеп" ұғымы барлық ғылыми бағыттардың қажетті де ең маңызды элементі болып көрінеді, ал оны оқыту қызметі құрылымында қарастыру аталған ұғымды дидактикалық категорияға айналдырады.

Дидактикалық түсінік бойынша есеп бір мезгілде әрі таным объектісі, әрі оқушылардың танымдық қызметін басқару құралы болып табылады.

"Есеп" ұғымына мағына беру есепті шығаруға үйретудің теориялық негіздерін өндеу үшін жеткіліксіз болады. Амал тәсілін таңдау үрдісінен тұратын, "есепті шығару" ұғымын осы күнгі талаптар тұрғысынан түсінуді талдаудың да маңызы зор (Р.Бенерджи, Е.Н.Кабанова-Меллер, Д.Пойа, Ю.М.Колягйн, А.А.Столяр, В.И.Крупич, Д.Толлингерова).

Оқыту теориясы мен есептерді шығаруды меңгеру практикасы арасында, есепті шығаруға үйрететін мұғалім қызметі мен есептерді шығаруды меңгеруге ұмтылған оқушылар біліктерінің арасында қарама-қайшылықтар бар, оны шешу шарттарының бірі оқушылардың "есепті шығару" ұғымын меңгерулері болып шығуы мүмкін.

Ғалым философтардың зерттеулерінде "шығару" және "есепті шығару" ұғымдарының бірнеше анықтамалары бар. Мысалы, С.Л.Рубинштейн кез келген ойлау актісін есеп шығаруға жатқызады, ал "оны шығару үрдісінде есептің объективті заттық мазмұнын жанамалайды және ойлау үрдісінде анықтайды". Ол әрі қарай былай деп жалғастырады: "Есепті шығару ой алдында тұрған қиындықтарды жеңу үшін қажетті, айтарлықтай жігерлі күш салуды үнемі талап етеді". Сонымен, психологияда есепті шығару есептің шарттары мен талаптары арасындағы қайшылықтарды шешуге бағытталған, кейбір жігерлі күш салу ретінде қарастырылады.

Есеп шығару теориясында "есепті шығару" түсінігі жөнінде екі көзкарас бар. Бірінші көзқарас бойынша әмбебап "есепті шешуге негізделеді және жетілдіріледі Екінші көзқарас бойынша есептердің жеке түрлері мен типтерін шығарудың әдістері мен тәсілдерін жетілдіруге жоғары баға беріледі.

Есепті шығаруды сипаттайтын құрылымдардың екі типі белгілі, олар: сыртқы және ішкі. Сыртқы құрылым есепті логикалық схемалар, алгоритмдік және эвристикалық ережелер арқылы сипаттайды, және сол аркылы есептік жүйені түрлендірудің тізбегін анықтайды. Ойлау операцияларын пайдалану ішкі құрылымды құруды қарастырады. Әртүрлі ғылымда (психологияда, жалпы және дербес дидактикаларда) есепті шығару үрдісінде осы құрылымдардың екеуін де қажетіне қарай пайдаланады. Есептерді шығару теориясында, өздерінің құрамдарына ойлау операциялары мен қатар логикалық операциялар да кіретін операциялық құрылымдарды құру орын алып отыр. Жалпы және дербес дидактикаларда есепті шығару үрдісін сипаттау үшін сырткы да, ішкі де құрылымдарды пайдаланады.

"Есепті шығару" ұғымын үрдіс және оның нәтижесі деп қарастыру керек. Үрдісті біз Н.И.Кондаковтың берген анықтамасы бойынша қарастырамыз. "Процесс (үрдіс) (латынша -processus - адым, өту, жылжу) - бірінің артынан бірі келетін даму моменттерінің үздіксіз, заңды және тізбектей жүзеге асырылатын ауысулары", мысалы, есепті шығару үрдісі, ойлау үрдісі. Осы түсінік бойынша шешу құрылымы, шешуді дайындаудан, оны қабылдаудан және жүзеге асырудан тұрады. Үрдісті жүзеге асыруға көмектесетін негізгі элементтер мыналар:

- амал тәсілдерінің бірін таңдап алү;

- амалды орындаудың мақсаттары мен құралдарының арасындағы өзара байланыстар мен өзара әрекеттестіктерді ұғыну;

- амалды модельдеу;

- амалдың салдарын бағалау;

- амалдың ұйғарылған нәтижесін талқылау;

- шешім кабылдау;

- шешімді жүзеге асыру;

- орындалатын амалды және сол амал арқылы алынған нәтижені талкылау.

Осыдан, есепті шығарудың білім алушының есепті қабылдап алғаннан бастап алынған нәтижені талқылағанға дейінгі қызметін қамтитындығы келіп шығады.

Есепті шығару есептің мазмұнында сипатталған объектіні түрлендіру үрдісі болып табылады.

Сонымен, есепті шығару дегеніміз объектіні түрлендіруге, есептің шарты мен талабы арасындағы қайшылықты шешуге бағытталған адамның ой қызметінің үрдісі болып табылады.

"Есепті шығару" ұғымы ойлау психологиясын да, оқыту психологиясын да өзінде біріктіреді. Есепті шығару үрдісінде адамның ойлау қызметінің негізгі заңдылықтары көрінеді, сонымен қатар, бір мезгілде білімді меңгеру және қолдану үрдісі жүріп жатады. Ойлау бұл жағдайда бірыңғай, сонымен қатар, әр түрлі операцияларда өтіп жататын, өзінің формасы бойынша әр алуан қызмет болып табылады. Олардың ең бастыларына анализ (талдау) бен синтез (біріктіру) жатады. Анализ дегеніміз заттар мен құбылыстарды оларды құрайтын бөліктерге ойша жіктей отырып, сол бөліктердің елеулі белгілерін, қатынастарын және элеметтерін айқындап көрсету болып табылады. Синтез элементтер араларындағы елеулі байланыстар мен қатынастарды аша отырып, анализ арқылы жіктелгендерді бүтін етіп қайта қалпына келтіруге мүмкіндік жасайды. Белгілі бір амалдарды орындағанда ойлау операцияларының бірінің екіншісіне қарағанда біршама басым келетіндігі туралы ғана айтуға болады, өйткені оларды шектеп тастау мүлде мүмкін емес. Анализ бен синтез бірлікте, белгілі бір өзара байланыста өмір сүре отырып, есеп шығару үрдісінде біртұтас аналитикалық - синтетикалық қызмет атқарады.

Сонымен, "есепті шығару" ұғымы — нақты құрылымы бар, күрделі динамикалық ұғым. Оның мінездемесі әртүрлі жәйттармен анықталады: үрдіс мақсатымен, түрлендірілетін ахуал мазмұнымен, шешудің қолда бар әдістері және тәсілдерімен, есеп мазмұны және оны шығару құралдарының өзара үйлесімділігімен, шығарылатын есептің нақты типі және түрімен.

Әрбір математика пәні мұғалімін қиңайтын ортақ бір мәселе оқушыларды есеп шығаруға үйрету. Тақырыпты оқушылар түгел түсінгендей программалық білім, білік дағдыларын игерген сияқты. Ал, бақылау жұмысының нәтижесі төмен. Мұның себебі не? Себептер жеткілікті.

Соның біразына тоқталып керейік.

1. Оқушы таңдап алынған әдістің берілген есепті шығаруга тиімділігін болжауды білмейді.

2. Оқушы есепті шығару тәсілін білгенмен оны орындау барысында қателіктер жібереді, яғни өздері жіберген қателерді іздеп табу жолдарын білмейді.

3. Оқушының математикалық, білімдері жүйесіз, оны қолдана білмейді.

4. Оқушы есепті шығаруға қажет әдіс-тәсілді білгенмен оны қай кезде қалай қалдану қажеттігін бімейді.

5. Оқушы есепті шешуге психологиялық тұрғыда дайын емес, яғни есептің «түрін көріп-ақ, оны шеше алмаймын», — деп алыдын ала болжап қаяды.

Осылардың бәрін жинақтай келіп оқушылардың есеп шығара білмеулерінің себебі — математикалық есептерді шешудің әдіс-тәсілдерін білмеуі және оларды толық меңгермеуі деп айтуға болады.

Оньң екінші бір педагогикалық себептері — ондай әдіс-тәсілдерді муғалімдердің де жете біле білмейтіндігі, сондықтан да ондай дағдыға үйрете алмайды немесе жүйесіз үйретеді.

Жалпы, әдіс деп тәсіддердің орындалу ретін көрсететін операцялардың жүйесін айтады.

Теңдеуді немесе белгілі бір есепті шешуге белгілі бір әдіспен жұмыс істеудің реті төмендегідей болады:

1. Әдістің идеясы.

2. Қолдану мысалдары.

3. Берілген әдістерді қолданудың типтік (әдіс-тәсілдері) жолдары.

4. Берілген әдіспен шешілетін есептерді құрастыру жоддарын үйрену (есеіггі күрделілендіру жолдары).

Белгілі психолог А. Н. Леонтьевтің теориясы бойынша оқушылардың өздері үшін маңызды болып көрінген есептер ғана олардың белсенділіктерін арттырады, өздері үшін жаңа болып көрінетін ақиқаттарды өз беттерінше іздестірулеріне көмектеседі, теориялық ойларының және елестету қабілеттерінің қалыптасуына көмектеседі.

Есептер оқыту барысында мынадай дидактикалық мақсатта пайдаланылады:

1) математиканы оқып үйренуді бір жүйеге салу;

2) алдын-ала даярлау (пропедентикалық) қызметін атқару;

3) теориялық материалдарды меңгертуге мүмкіндік туғызу (оқытушы есептер);

4) негізгі есептерді шешу дағдыларын қалыптастыру (жаттығу есептері);

5) ой-өрісті, дүниетанымды, мінез-құлық саналарын дамытуға мүмкіндік жасау (дамыту есептері).

Осыған орай берілген материалдардың дидактикалық мақсаты мен оның меңгерілу  сатыларына қарай мазмұны мен құрылымы сәйкес келетін есептер таңдап алынады.

Есептердің мазмұны жөнінде айтқанда біріншіден, не абстрактілі — математикалық сипатына, не нақты тұрмыстық, өңдірістік сипатына сәйкес оның құрылымы, екіншіден, есептердің көмегімен меңгерілетін теориялық материалдарды (түсініктер, қасиеттер, формулалар, ережелер және т. б.) түсінеміз.

Математика мұғалімінен жалпы іргелі және арнайы математикалық білім ғана емес, педагогтік қызметке шығармашылыкпен қарау, іскерлік белсенділік көрсету арқылы өз білімін үздіксіз жетілдіріп отыру қабілеті де талап етіледі. Дәл осындай касиеті бар мұғалім қоғамның жедел өзгерістеріне тиімді түрде бейімделе алады.

Америкалық педагог-математик  Д. Пойа былай деген: «Математиканы білу деген не? Бұл — есептерді шығара білу, онда стандарттық есептерді ғана емес, ойлаудыа еркіндігін, сананың салауаттылығын, өзіндік болмысты, тапқырлықты керек ететін есептерді шығару». Сондықтан, орта мектептің математика курсының бірінші әрі ең басты міндеті есеп шығарудың әдістемелік жақтарына даярлауға тіреледі.

Математиканың теориялық негізін есеп түрінде меңгеру болашақ мұғалімдердің ойын белсендіреді, икемділік, жылылық, терендік, жинақылық, жүйелілік, т.б. тәрізді математика мұғаліміне қажеіті қасиеттерді қалыптастырады. Сонымен қатар, есептер мұғалімнің математикалық білім, білік дағды жүйесін калптастырудың маңызды құралы, ал есеп шығару — болашақ ұстаздың оқу және кәсіптік әрекетінің жетекші түрлерінің бірі, математикалық дамуының құралы. Әрбір есептің өзіндік әдістемелік мақсаты да бар. Сондықтан, мұғалім есепті жылдам әрі қатесіз шығаруға, жаттыға түсуге ұмтылудан гөрі, оны шығармашылыкпен шешуге, шешімінен тиісті қорытынды жасай білуге тырысуы қажет.

Математиканы үйренумен белсенді шұғылдану, шын мәнінде, есеп шығару. Есептерді оқыту әдістемесін жасағанда, математиканы оқытудағы есептердің қызметін анықтап алу қажет. Кез келген нақты есеп әр түрлі қызмет аткара алады, оның көбі жасырын тұрып, тиісті жағдайда ғана көрініс береді. Математиканы окыту тиімділігі көбінесе әрбір нақты есептің ыктимал қызметі оқыту тәжірибесінде қаншалықты толық іске асуына байланысты болады. Математиканы окытудың негізгі мақсаттарына сәйкес, есептердің оқыту, тәрбиелеу, дамыту және маңызы бұлардан кем емес бақылау қызметтері белгілі. Бұл қызметтер жеке-дара емес, өзара байланыста болады. Сондықтан, кейде олардың ең бастысын айкындап алу қиын.

Осыған орай, математика сабағында мұғалім есеп шығару барысында мынадай қызметтерді бөліп қарауы тиіс:

1) оқыту - математикалық білім, білік және дағды жүйесін қалыптастыру;

2) тәрбиелеу - қызығуды, таным дербестігін, жеке қасиеттерін қалыптастыру;

3) дамыту - математикалық, ойлауды және шығармашылық қабілетті дамыту;

4) бақылау — бұл жерде есептер нақты математикалық білім, білік, дағдыны бақылау мен бағалаудың жетекші курсы болып шығады.

Дж. Пойа қалыптастырған оқытудың үш ұстанымына және үйренудің үш ұстанымына сүйене отырып, өзіміз үшін мынаны бөліп қараймыз [1]:

— белсенді үйрену және оқыту: оқитын пән көбірек пайдалы болу үшін, оқушы есеп шығаруға, есеп кұрастыруға, шарттарын түрлеңдіруге өз бетінше белсенді турде қатысады, яғни, ол есеп шығарудың оңтайлы әдіс-тәсілін іздеуге өз үлесін қосуы тиіс, сол арқылы табандылығын, ақыл-ой қабылетін дамытады;

- жақсы ынталандыру: белсенді оқыту туралы айтқанда, біз өз оқушыларымызды ынталандыруымыз қажет. Ең жақсы ынталандырушы — бұл мамандыққа, оның ішінде математика мүғалімі мамандығына қызығу. Мамандыққа қызығуды оятуда қызықты есептерді таңдап алу, әр түрлі әдістермен шығару керек. Мұндағы ең негізгісі, менің ойымша оқытушының және оқытудың стилі. Кез келген адам еліктеуге бейім. Сондықтан, математика мүғалімі пәнді біліп кана қоймай, пәнді игеру, оқыту ерекшелігімен де қызыктыра білсін. Оқыту — өнер. Әртіс, ақьн тіпті суретші болу кажет. Бұрыннан белгілі жайдың өзін оқушылар алдында әрдайым тұңғыш ашушы болу керек. Сол арқылы біз ұстаздык әлеміне кереметтігін көрсетеміз. Есеп — көркем туынды, есеп — ертегі, яғни, оқушы бұл пәнді тиінді меңгеру үшін оқылатын материалға қызығуы, есеп шығарудан рахаттануы тиіс. Сондықтан, есептер жүйесін тандап алуға ерекше көңіл бөлу қажет. Қатаң, байыпты есептердің қатарында парадокстік, логикалық, күлдіргі есептер де болсын. Жоғарыда айтылғанды түйіндей келе, әрбір мүғалімнің міндеті оқушыға нақты білім келемін беру ғана емес, қарастырған мәселесінің әсемдігі мен кыр-сырын ашу, математикаға оқу пәні ретінде де, ғылым ретінде де қызығуды ояту деп қорытындылаймыз. Осылайша, біз мүғалімді қаркынды еңбекке, өз акыл-ой қабілетін дамытуға итермелейміз.

Оқу кезендерінің сабақтастығы: Дж. Пойа атап айтқандай, оқып-үйрену әрекетген және қабылдаудан басталып, одан сездер мен ұғымдарға өтеді. Ең соңында ақыл-ойды жаңа бір белеске көтерумен аяқталуы тиіс.

Есеппен жұмыс істеуде мынадай үш кезеңді (Дж. Пойа ізімен) бөліп қарауға болады:

Бірінші зерттеу кезеңі — әрекет пен қабылдауға жақынырақ және ең алдымен түйсіктік немесе эвристикалық деңгейде жүреді.

Екінші қалыптау кезеңі — терминологияны, анықтамаларды, дәлелдеулерді жасаумен байланысты, неғұрлым жоғары деңгейге, үғымдар деңгейіне көтеріледі.

Үшінші меңгеру кезеңі — ең соңында келеді, ол мәселенің «Ішкі мәнін» табуға жауап береді; бұл кезенде оқылатын материалды оқушылар меңгеруі тиіс, материал олардың білім қорына кіріп, дүниетанымын кеңейтуі тиіс; бұл кезең, бір жағынан, қосымшаларға және жоғарырақ деңгейдегі жинақтауға жол ашады. Екінші жағынан, есеп шығару зерденің өзіндік ерекшелігіне жатады, ал зерде — адамның ерекше қасиеті; сондықтан да есеп шығару адамның ақыл-ой әрекетінің ең маңызды көрінісінің бірі. ретінде қарастырылады. Әр адамның ақыл-ой әрекетінің өзіндік ерекшеліктері болады. Кез келген әрекет тәрізді, ақыл-ой әрекеті де әр түрлі амалдардың қолданылу аясын кеңейтеді, ойлау операцияларының деңгейін көтеріп, ақыл-ой әрекетінің тиімді амалдарын (талдау, жинақтау, дерексіздендіру, жалпылау, т.б.) игеруге, есеп шығарудың түрлі әдістерін бір топтағы есептерден екінші топтағыларына кеңінен ауыстыруға жағдай жасайды.

Орта мектепте математиканы оқудың және оқушыларға есеп шығаруды үйретудің жоғарыда айтылған ұстанымдарын дәлелдегендей, Н.А.Менчинская мен П. Т. Данюшевская ақыл-ой дамуының мынадай сипатгарын айқындады:

— әуестіктің дамуы, білімді кеңейтуге, тереңдетуге бағытталған танымдық сұрақтардың тууы;

— материалды меңгерудегі дербестік пен белсенділік дәрежесін ұлғайту. Математикалық, есептерді шығару кезінде әр түрлі ойлау шеберлігін қолдану арқылы ақыл-ой қабілетінің дамуы жүзеге асады;

— берілген жағдайды талдау;

— берілгені мен ізделідіні салыстыру;

— берілген жағдайдың жасырын қасиеттерін анықтау;

—қарапайым математикалық модельдерді құрастырудағы ойлау эксперименті;

— пайдалы ақпаратты таңдау кезіндегі жинақтау;

— білімді жүйелеу;

— ойды символдық, графиалық, бейнелеу;

— жалпылау, зерттеу, т.с.с.

Есеп шығару кезінде жалпылауға үйрету ойлауды, жадыны дамытады, жалпылама ассоциация қалыптастырады. Ойлау әрекетін жандаңдыратын ма-тематикалық есептерді тандап алу қажет, өйткені, математикалық ойлаудың дамуы, негізінен, оқушының шығармашылық белсеңділік дәрежесіне байланысты. Осыған орай, есептерді мынадай түрлерге белуге болады:

1) зерттеу элементтері бар есептер (геометриялық есептер, тендеулер мен тенсіздіктер: тригонометриялық, көрсеткіштік, параметрі  логарифмдік, т.б.).

2) дәлелдеуге арналған есептер (логикалық ойлау қалыптасады, шешімнің логикалық сұлбасы жасалады, математикалық фактілер негізделеді және т.б.).

3) еске түсіруге арналған есептер (оларды шығарғанда ес пен зейінге, логикалық талқылауға, пікір дәлдігіне, математикалық қатандыққа. т.б. сүйенеді).

4) қызықты есептер (тапқырлыққа аңғарғыштыққа арналған есептер, математиканың қызықтылығын, логикалық құрылуын және тәжірибеде қол-данылуын көрсетеді).

5) шешімнің бірнеше нұсқауы бар есептер (бір есептің шешімінің әр түрлі нұскасын карастыру ойлау икемділігіне, неғұрлым тиімді, қарапайым әрі көркем шешімді таңдай білуге тәрбиелейді).

6) есеп құрастыру (дербестік, шығармашылық ойлау белсеңділігі дамиды, логикалық құралдар қолданылады, есептің берілген шешімі, берілген деңгей-лер бойынша теңдеулерді, теңсіздіктерді құрастыру үшін жаңа байланыстар ашылады, т.б.).

Математикалық есептердің тәрбиелік мәні зор. Есеп шығару кезінде төзімділік пен табандылық қалыптасады. Тиімді шешімді іздеу жазудың, сызу-дың ыкшамдығы мен мұқияттығын керек етеді. Ойлаудың ерекше математикалық стиліне тәрбиелейді:

— талқылаудың формалдық-логикалық сұбасын сақтау (талдау, құру, дәлелдеу, зерттеу);

— ойдың ықшамдығы;

— ойлау барысының нақтылығы;

— математикалық симваликаны дәл қолдану. Политехникалық тәрбие ісінде де есептер үлкен рөл аткарады. Мектептерде профильдік саралау жүріп жатқан қазіргі кезде оқушылардың қолданбалы сипатгағы есептерді шығара білуі өте маңызды. Осындай есептер арқылы оқушылар математиканың басқа ғылымдардағы рөлін, басқа ғылымдардың математика үшін маңызын көре алады.

Есептердің бақылаушылық қызметі де маңызды. Бақылау — математикалық есептердің дидактикалық мақсатының бірі. Іс жүзінде әрбір есептің аралық бақылау, өзін-өзі бақылау, тоқсандық (семестрлік), жарты жылдық, қорытынды бақылау міндеті бар әрі білімдегі олқылықтар мен қиындықтарды анықтауға, жаңа теориялық білімді меңгеру дәрежесін, есеп шығару әдістерін үйренуді, алған білік пен дағдының тиімділігін анықтауға арналады.

Бақылау үшін ұсынылған есептерді шығаруда оқушылар мынаны көрсетуі тиіс:

— негізгі формуланы, теоремаларды, ережелерді білетіндігі;

— қолданбалы сипаттағы есептердің математикалық моделін құра білу;

— білімін оқу және тәжірибе жұмысында шығармашылықпен пайдалана білу;

— есеп шығаруды түрлендіре білу;

— математикалық тапсырмаларды дәлелдеудің және есеп шығарудың әдіс-тәсілдерін білу;

— жазып толтыру, сызу жұмыстарын мұқият орындау;

—есепті талқылау барысын әдістемелік жағынан сауатты баяндау, түсіндіру;

—жұмыста шығармашылық таныту. Математикалық есептердің бақылау қызметін іске асыруда біз оқушыларды бағалауды және бақылауды қолданып, бағалау жұмысына кеңінен тартамыз. Оқушының белсеңділігі белгілі бір білік пен дағдыны игеру деңгейіне ғана емес, сол пәнді үйренуге деген ішкі ниетіне, яғни, оқудағы ішкі көңіл-күйге, тұлғалық қасиеттердің көрінуіне ықпал ететін түрткілерге де байланысты. Оқушы біліміне мұғалім берген баға оқушының іштей өзін-өзі бағалауына сай келмесе, оның белсенділігіне теріс ықпал етеді, яғни, көтерме баға оқуға деген тұтынушылық қатынасты дамытуға, мұғалім беделін түсіруге соқтырады, ал төмен баға қою жағымсыз сезім, енжарлық, өз мүмкіндігіне сенімсіздік, кейде дау-дамай тудырады.

Есеп шығару барысында оқушыларды тұлғалық-бағдарлық оқытуға жағдай жасайтын мазмұндық және әдістемелік құрамдастарды айқындап алу қажет. Оқыту әдістемесі жөніндегі іргелі зерттеулерді талдау есептер жүйесін құрудың мынадай әдістемелік ерекшеліктерін анықтауға жол ашты:

1) есеп мазмұнындағы мәліметтердің ғылымшылығы;

2) есеп шығаруды үйретудің дамытушы сипаты;

3) есепті кәсіби түрде шығара білуді қалыптастыру мен дамытудың жүйелілігі және сабақтастығы;

4) есеп мазмұнының кәсіби бағыттылығы;

5) есеп мазмұнында мәселе көтерілуі;

6) есеп шығаруды үйретудегі саналылық пен мақсаттылық.

Осының бәрінде де математикалық ойлаудың жеткілікті түрдегі жоғары деңгейін қалыптастыру қажет. Ойлау мен есеп шығару үрдісінің тығыз бай-ланыстылығы көпке мәлім. Математикалық ойлаудын дамуы, жалпы ойлау мәдениеті ретінде қазіргі оқу-тәрбие мәселелерінің әрдайым басында тұрады, сондықтан, математика оқу пәні ретінде де, ғылым ретінде де ойлау әрекетінің дамуына өте маңызды ықпал етеді. Ойлау әрекеті көбінесе әр түрлі мәселе қоюдан көрінеді, есеп шығару барысында дамиды, т.с.с. Оның әдістемелік жағынан дұрыс, сай келетін сипаттары мынадай:

— талқылаудың логикалық сұлбасы;

—мақсатқа апаршпын ең қысқа логикалық жолды әрқашан табуға әлеуметтік ұмтылыс;