14 апта Тақырыбы: Сызықтық емес және квадраттық формалар Сызықтық емес формалар Анықтама
жүктеу/скачать 220,29 Kb.
|
14 апта ОТ
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 1 .
- 1 - лемма .
- 2 - лемма.
| Квадраттық формалар
Анықтама 1. белгісіздерінің квадраттық формасы белгілі бір коэффициентке көбейтілген осы белгісіздердің не квадратынан,не екі белгісіздің өзара көбейтіндісінен тұратын қосындыны айтады. Квадраттық формалар математиканың әр түрлі салаларында, соның ішінде орталық орын алады сандар теориясы, сызықтық алгебра, топтық теория (ортогональды топ), дифференциалды геометрия (Риман метрикасы, екінші іргелі форма), дифференциалды топология (қиылысу формалары туралы төрт коллекторлы). Квадрат формаларды а-мен шатастыруға болмайды квадрат теңдеу тек бір айнымалысы бар және екі немесе одан аз дәреже шарттарын қамтиды. Квадраттық форма дегеніміз неғұрлым жалпы тұжырымдаманың бір жағдайы біртекті көпмүшелер болып табылады. Квадраттық формалар дегеніміз біртекті квадраттық көпмүшелер n айнымалылар. Бір, екі және үш айнымалы жағдайда олар аталады унарлы, бинарлы, және тернарлы және келесі айқын нысаны бар: (унарлы) (бинарлы) (тернарлы) Квадраттық форма деп бірнеше белгісізді екінші дәрежелі біртектес көпмүшелiктi айтамыз . Жалпы жағдайда квадраттық форма төмендегідей жазылады : Егер мүшесін , түрінде жіктеп жазатын болсақ , онда квадраттық форма мына түрге келеді: (1) Квадраттық форманың осылай берілуін дұрыс жазылуы дейміз . Егер квадраттық форманың ар коэффиценттері нақты сандар болса , онда оны нақты квадраттық форма дейміз . Жалпы жағдайда комплекс сандар болуы да мүмкін . р - квадраттық форманың коэффиценттерінен құралған . A=
түрге, ал матрицасы диагональдық матрицаға келер еді. Квадраттық форманың (2)-түрін оның канондық түрі дейміз. Жоғарыдағы сұраққа квадраттық форманың негізгі теоремасы деп аталатын сұраққа төмендегі теорема жауап береді. Теорема 1 . Кез келген квадраттық формаға айқындалмаған сызықтық түрлендіру қолданып канондық түрге келтіруге болады. Егер берілген квадраттық форманың коэффициенттері нақты сандар болса , онда оны канондық түрге келтіргенде шығатын квадраттық форманың да коэффициенттері де нақты сандар болады. Теореманың дәлелдеуіне көмектесетін екі леммаға тоқталайық. 1 - лемма . Егер -ның алдындағы коэффициенті болып , ал бірақ қалған белгісіздердің тым болмағанда біреуінің квадратының коэффициенті нольге тең емес болса , онда оған айқындалмаған сызықтық түрлендіру қолданып жаңа бірінші белгісізінің квадратының коэффициенті нольден өзгеше квадраттық форма алуға болады . Шынында да , болсын . Мынадай түрлендіру қолданайық : . Сонда біз - нің коэффициенті нольге тең емес квадраттық форма аламыз . 2 - лемма. Егер квадраттық форманың барлық белгiсiздерінің квадраттарының коэффициенттері нольге тең болып , ал бірақ форманың тым болмағанда бір коэффициенті нольден өзгеше болса , онда айқындалмаған сызықтық түрлендіру қолданып белгiсiзiнiң біреуінің квадратының коэффициенті нольден өзгеше квадраттық форма алуға болады . Шынында да , , бірақ болсын . Мынадай түрлендіру қолданайық: Сонда біз , мұнда коэффициенті Бұдан кейін тағы 1-леммадағы сияқты түрлендіру жасап , бірінші белгісізінің квадратының коэффициенті нольден өзгеше квадраттық форма аламыз . жүктеу/скачать 220,29 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|