2-дәріс. Тақырыбы: Ықтималдықтарды көбейту формуласы Жоспары
жүктеу/скачать 193,5 Kb.
|
Ықтималдықтарды көбейту формуласы2-дәріс (1)
- Бұл бет үшін навигация:
- Ықтималдықтарды қосу теоремасы. Теорема.
- Толық ықтималдық формуласы. Байес формулалары.
|
2-дәріс. Тақырыбы: Ықтималдықтарды көбейту формуласы Жоспары: - Шартты ықтималдық. - Ықтималдықтарды қосу теоремасы. - Толық ықтималдық формуласы. - Байес формулалары. Кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде пайда болу ықтималдықтары нөлге тең емес: >0 болатын A және B оқиғаларының бірі пайда болғанда екіншісінің ықтималдығы өзгермейтін болса, оларды өзара тәуелсіз дейміз. Қалған жағдайларда олар тәуелді болады. Екі оқиғаның тәуелсіздігінің анықтамасы ретінде (1.9) теңдігін қабылдауға болады. Бірақ, ол көбіне оқиғалардың тәуелсіздігін тексеруге қолданылады.Шекті оқиғалар жиынының кез келген m элементінен жасалған теру үшін (1.10) болса, бұл оқиғалар жиынтығында тәуелсіз дейміз. Оқиғалардың (n>2) жиынтығында тәуелсіз болуының қажетті шарты олардың қос-қостан тәуелсіз болуында. Жиынтығында тәуелсіз оқиғалар үшін (1.11) теңдігі (n=2 болғанда (1.9)) ықтималдықтарды көбейту формуласы деп аталады.Тәуелді оқиғалар үшін >0, >0 (1.12) саны кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде оқиғалардың бірі пайда болғанда екіншісінің де пайда болуының шартты ықтималдығы деп аталады. Шартты ықтималдықтың бұл аксиомалық түсінігі ықтималдықтың классикалық схемасына қайшы келмейді. Мысалы, тәжірибенің барлық мүмкін n=N(Ω) нәтижесінің A оқиғасының пайда болуына қолайлысы m (m≤n,4-сурет) десек, Оқиғаның (A) пайда болуы осы m нәтиженің бірінің іске асқандығын көрсетеді. 4-сурет Енді A-мен қатар B оқиғасының пайда болуын қарағанда аталған m нәтиже мүмкіндіктердің жалпы санын құрайды. Солардың ішінде k (k≤m) нәтиже B-ның да, демек, AB оқиғасының да пайда болуына қолайлы болсын. Классикалық жүйе (1.12)-нің екінші формуласына келтіреді: Тәуелсіз оқиғалар үшін Егер болса, (1.12)-дегі шартты ықтималдықтар тиісінше анықталмаған болып саналады. Олардың екеуі де анықталған болса, онда тәуелді оқиғалар үшін ықтималдықтарды көбейту формуласы (1.13) түрінде жазылып, оқиғалардың бірге пайда болуының ықтималдығын табу үшін қолданыла алады. Жиынтығында тәуелсіз емес оқиғалары үшін (1.13)-ті жалпы түрде (1.14) деп жазуға болады. Ықтималдықтарды қосу теоремасы. Теорема. Бірікпейтін бірнеше оқиғаның қайсысы бола да біреуінің пайда болуының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең: ( ) (1.15) Дәлелдеу. Айталық, кездейсоқ эксперимент үшін , соның ішінде оқиғасының пайда болуына нәтиже қолайлы болсын. Оқиғаларға мүмкін (жиындарға қолданылатын ) амалдар қолдану арқылы алынған оқиғаны күрделі оқиға дейміз. Күрделі оқиғасы пайда болу үшін қосылғыш оқиғалардың кез келген біреуі пайда болса болғаны, демек, оған нәтиже қолайлы. Классикалық схема бойынша оқиғалары толық топ құрайтын болса, және ықтималдықтардың екінші аксиомасына сай . Әдетте (1.15) ықтималдықтарды қосу аксиомасы (үшінші аксиома) деген атпен дәлелдеусіз қабылданады. Бірікпейтін (k=2) оқиғалары үшін ω(A) және ω(B) жиындары қиылыспайды (айқаспайды): . Екі жиынның да барлық элементтері оқиғасының пайда болуына қолайлы, олардың ортақ элементтері жоқ: (1.15) түрінде жазылады. Ал, бірігетін оқиғалар үшін оқиғасының пайда болуына қолайлы нәтижелердің санын анықтағанда аймағына сай келетін нәтижелер қайталанып алынбас үшін ықтималдықтарды қосу теоремасын (1.16) түрінде жазамыз. Бірігетін n оқиға үшін ықтималдықтарды қосудың жалпыланған формуласы (1.17) түрінде жазылады. Қосылғыштардың саны өскен сайын оны қолдану күрделі есептеулерді талап етеді. Мысалы, бірігетін үш оқиғаның кем дегенде біреуінің пайда болу ықтималдығы (1.18) Оқиғалардың толық тобын құру арқылы есептеуді азайтуға болады. Қарама-қарсы оқиғалар қашанда толық топ құрайды: (Ā)=p+q=1 (1.19) Бұл шарт және қарама-қарсы оқиғалары үшін де орындалады, демек, Жалпы түрде . (1.20) Қаралып отырған оқиғалар жиынтығында тәуелсіз болса: (1.21). Толық ықтималдық формуласы. Байес формулалары. Белгілі бір кедейсоқ эксперименттің нәтижесінде байқалатын A оқиғасы сол тәжірибенің толық топ құрайтын, A-ға қарағанда гипотезалар (болжамдар) деп аталатын нәтижелерінің бірімен ғана қосарласа пайда бола алсын. Болжамдардың шартсыз ықтималдықтарын : >0 классикалық тәсіл бойынша тәжірибеге дейін (априорлық түрде) анықтауға болады. Болжамдар қос-қостан бірікпейтін болғандықтан күрделі оқиғалары да сол шартты қанағаттандырады. Соңғылардың ықтималдықтарының қосындысы оқиғасының толық ықтималдығы деп аталады. Оны ықтималдықтарды қосу аксиомасының (1.15) және ықтималдықтарды көбейту формуласының (1.13) көмегімен табуға болады. Бізге болжамдардың қайсысы іске асса да бәрі бір, тек A оқиғасы пайда болса болғаны. Сондықтан (1.22) Соңғы теңдік толық ықтималдық формуласы деп аталады. Енді тәжірибе өткізіліп , оқиғасының пайда болғаны белгілі болды делік. Бұл күрделі оқиғаларының да бірі пайда болды деген сөз; (1.13) бойынша Бұдан болжамдардың тәжірибеден кейінгі (апостериорлық) ықтималдықтары (1.23) Байес формулалары деп аталатын бұл теңдіктер бақыланып отырған A оқиғасының пайда болғаны туралы ақпарат алынғаннан кейін әрбір болжамның орындалу ықтималдығын есептеуге (тексеруге) мүмкіндік береді. Ф ҚазҰПУ 0703-10-09 Пәннің оқу-әдістемелік кешені. Екінші басылым жүктеу/скачать 193,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|