3. Тригонометриялық теңдеулерді шешу мысалдары Анықтама. Қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп мына теңдеулерді айтады
Енді қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді қарастырайық. 1. теңдеуі
жүктеу/скачать 438,5 Kb.
|
12.11.2020
| 2. Енді қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді қарастырайық.
1. теңдеуі. Егер болса, онда абсцисса осіне симметриялы екі бұрыштың косинусы берілген мәнге тең болады. Бұл бұрыштар шамасы толық шеңберге, яғни косинустың периодына тең болатын, - -ден -ге дейінгі аралықта болады. Басқа шешімдердің барлығы осы бұрыштармен беттеседі. Сонымен берілген теңдеудің жалпы шешімі мына формулаламен анықталады: мұндағы -кез келген бүтін сан. Мысалы: ; Шешуі: ; немесе Егер теңдеудің жалпы шешіміндегі -ға белгілі бір бүтін мәнді қойсақ, онда берілген теңдеудің дербес шешімі алынады. Егер болса, теңдеудің шешімі болмайды. 2. теңдеуі. Егер болса, онда және бұрыштарының синустары берілген -ге тең болады. Осы бұрыштарға сәйкес доғаллардың ұштары ордината осіне қарағанда симметриялы болады. Барлық ізделінді бұрыштар (доғалдар) осы екі бұрышқа синустың периодын еселеп қосқаннан шығады. = (1) Сонымен осы екі теңдікті біріктіріп, берілген теңдеудің жалпы шешімін былай жазуға болады: мұндағы -кез келген бүтін сан. Шындығында да, егер жұп, сан болса, (1) теңдіктегі жоғарғы формула, ал -тақ, болса, төменгі формула алынады. Егер болса, онда берілген теңдеудің шешімі болмайды. Мысалы-1. теңдеуін шешу керек. Шешуі: Мысал-2. теңдеуін шешу керек. Шешуі: , ; 3. теңдеуі. Ұзындығы -ге тең интервалында -нің кез келген мәніне жалғыз ғана бұрышы сәйкес келеді. Барлық ізделінді бұрыштарды табу үшін бұрышына тангенс функциясының периодын еселеп қосу керек. Сонда берілген теңдеудің барлық шешімдері мына формуламен анықталады: , мұндағы кез келген бүтін сан. 4. теңдеуі. -нің кез келген мәнінде бұл теңдеудің де шексіз көп шешімі болады. Ол мына формуламен анықталады: , мұндағы кез келген бүтін сан. Мысал-1. теңдеуін шешу керек Шешуі: Мысал-2. теңдеуін шешу керек Шешуі: 3. Күрделі тригонометриялық теңдеулерді шешу үшін тригонометриялық түрлендірулер қолдану арқылы берілген теңдеуді қарапайым тригонометриялық теңдеуге келтіреміз. Мысал-1. теңдеуін шешу керек. Шешуі: деп белгілеп, жаңа айнымалыны енгізейік. Сонда берілген теңдеу. түріндегі квадрат теңдеуге келеді. Осы квадарат теңдеуді шешіп, оның түбірлерін тапсақ болады. Сонда және теңдеулерін шешуге әкелінеді. теңдеуінен түрінде жалпы шешімін аламыз. теңдеуінің шешімі болмайды. Егер теңдеуде бірнеше тригонометриялық функция болса, онда олардың біреуін екіншісі арқылы өрнектеп, бір ғана тригонометриялық функциядан тұратын теңдеу аламыз. Мысал-2. теңдеуін шешу керек. Шешуі: -ты өрнегімен ауыстырсақ, , , теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу ауыстыруын енгізу арқылы шешіледі. Сонда квадрат теңдеуінің , түбірлерін пайдаланып, және қарапайым теңдеулерді аламыз. теңдеуін шешсек, болады. теңдеуінің шешімі болмайды. Теңдеудің құрамындағы тригонометриялық функциялардың аргументтері әртүрлі болса, онда теңбе-тең түрлендірулерді қолдану арқылы тригонометриялық функцияларды бірдей аргументтің функциясына келтіреміз. Мысал-3. теңдеуін шешу керек. Шешуі. теңдігін қолдансақ, теңдеуін аламыз. Бұдан , яғни болады. , Теңдеудің барлық мүшелерін сол жаққа көшіріп, нольге теңестіргеннен кейін оның сол жағын көбейткіштерге жіктейді де, әрбір көбейткішті нольге теңестіреміз. Осы теңдеулерді шешіп, ол шешімдерді біріктіру керек. Мысал-4. теңдеуін шешу керек. Шешуі. Барлық қосылғыштарды теңдеудің сол жағына көшіріп, былайша топтастырайық: . Екі аргументтің синустарының айырмасының формуласын қолдансақ, . Бұдан . Көбейткіштердің әр қайсысын нольге теңестірсек, және теңдеулерін аламыз. Осы қарапайым теңдеулерді шешейік. 1. , , ; 2. , , , , , Сонымен, берілген теңдеудің жалпы шешімі мынадай: Мысал-5. теңдеуін шешу керек. Шешуі. Берілген теңдеудің екі жағын да -қа мүшелеп бөлеміз. Сонда берілген теңдеуге мәндес теңдеуін аламыз. ауыстыруын жасап, квадарат теңдеуін шешсек, , болады. Сонда және қарапайым теңдеулерді шешуге әкелеміз. 1. бұдан ; 2. ; болады. жүктеу/скачать 438,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|