№ 5 Дәріс
Негізгі алгебралық құрылымдар. Сақина, өріс, дене. Симметриялық группалар.
Анықтама 1.
Қосу және көбейту амалдары анықталмаған
-
қосудың көбейтуге қатысты дестрибутивтілік заңдары.
Анықтама 2.
сақинасы өріс деп аталады, егер төмендегі шарттар орындалса:
Анықтама 3.
өрісі дене (коммутативті өріс) деп аталады, егер төменгі шарттар орындалса:
- абельдік группа
- абельдік группа
-
Мысалы,
- өрісінде анықталған ерекше емес квадраттық матрицалардың коммутативті емес сақинасы .
нақты сандар өрісі.
Негізгі алгебралық жүйелердің мысалы болмайтын (алгебралық) тұйықталған жиынның мысалын келтірейік.
Егер яғни Бұдан,
Байқайтынымыз,
Мысал 1.
Арифметикалық амалдардың көмегімен анықталған туынды амалдардың мысалы.
Айталық M жиыны Z, Q, R жиындарының бірі болсын. (+) және амалдарын M жиынында келесі ережемен анықтаймыз:
Бұл амалдардың коммутативтік ассоциативтік қасиеттерін оңай тексеруге болады. Амалдарға қатысты нейтралдық (бірлік) элементтерді анықтайық.
Амалдарға қатысты қатысты кері элементтерді анықтайық. болғандықтан болу керек, яғни Осыған ұқсас,
мұндағы
Симметриялық группалар
- арқылы алғашқы n- натурал сандардан құрылған ақырлы жиынды белгілейік және оны n- натурал саннан құрылған алғашқы кесінді деп атайық. Яғни,
Анықтама 4.
- жиынынан құрылған кез-келген тізбекті n- ші ретті орналастыру деп атаймыз.
арқылы n- ретті орналастырулардың санын белгілейміз.
=1*2*3*…*n=n! (n-факториал) болмайтынын тексеру қиын емес.
Мысал, онда 3-ші ретті орналастырулар: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Яғни,
Анықтама 5.
Егер орналастыруларда үлкен сан кіші санның алдында тұрса, онда оны ретсіздік деп атаймыз.
Орналастырудағы барлық ретсіздіктердің жалпы санын инверсия деп атаймыз. Егер орналастырудың
инверсия саны жұп (тақ) болса, онда ол жұп (тақ) деп аталады.
Орналастырудың екі элементінің орындарын ауыстыру транспозиция деп аталады.
Ескерту. Бір транспозиция орналастырудың жұптығын өзгертеді.
Мысалы, 54123- 5-ші ретті орналастыру. Оның инверсия саны:
Бұл тақ орналастыру. (4,2)-транспозициясын жасайық. Онда, 52143 орналастыруын аламыз. Оның инверсия саны:
Бұл жұп орналастыру.
Анықтама 6.
- алғашқы кесіндісін өз-өзіне бірмәнді бейнелеуді n-ші ретті ауыстыру деп атаймыз. Ауыстыруды төмендегі түрде белгілеген өте ыңғайлы.
Мұндағы және
Ауыстырудың жұптығы мен тақтығы оның екінші жолындағы орналастырудың жұптығы мен тақтығынан анықталады.
- арқылы n- ші ретті ауыстырулар жиынын белгілейік.
- жиынында көбейту (композиция) екіорынды амалын сәйкес бейнелеулердің тізбектей орындалуы түрінде анықтайық.
Егер және болса, онда мұндағы
ауыстыруын бірлік (нейртралды) элемент деп атаймыз
ауыстыруын ауыстыруына кері ауыстыру деп атаймыз және
.
Кез келген үшін
- жиыны онда анықталған композиция амалына қатысты абельдік емес группа (құрайды) құрады. Бұл группаны n--ші ретті симметриялық группа деп атаймыз және - түрінде белгілейміз.
жиынының жұп орналастыруларынан құрылған жиын қайтадан группа құрайды. Бұл группаны ауыспалы таңбалы группа деп атаймыз және арқылы белгілейміз.
Сөйлем 1.
Сәйкес кеңістікте бірмәнді бейнеленулерінің түрленулері группасының элементтерімен анықталатын дұрыс геометриялық фигура (дене) әруақытта табылады.
Мысал 2.
Үшөлшемді кеңістіктегі тең қабырғалы үшбұрыштың өз-өзіне бірмәнді түрлендірулерін (бейнелеулерін)
қарастырайық.
Үшбұрыштың түрлендірулері:
А) О – центріне қатысты бұрулар.
Б) Кеңістіктегі осьтік симметриялар.
группасының абельдік группа болмайтынын көрсетейік.
=( =(ауыстыруларының композициясын қарастырайық.
ауыстырулары, сәйкесінше f және g бірмәнді бейнелеулері арқылы берілсін.
Яғни, {және {
Онда, {
Сонымен, – түрінде анықталған -түрлендіруі - болады.
=(
Егер { болса, онда
Сонымен, – түрінде анықталған -түрлендіруі - болады.
=(
Достарыңызбен бөлісу: |
