5. Лиувилл теоремасы

Фазалық кеңістікте ықтималдық тығыздығы ретінде үлестіру функциясын енгізу мүмкіндігі таза механикалық теоремаға негізделген. Ансамбльдік жүйені білдіретін әрбір нүкте 6N өлшемді фазалық кеңістікте сұйық бөлшектердің қозғалысы сияқты қозғалады. Мұндай нүктелердің саны сақталғандықтан, олардың тығыздығы осы кеңістіктегі сұйықтықтың үздіксіздігі теңдеуін қанағаттандырады:

Стационарлық жағдайда сұйықтық сығылмайды, яғни оның таңдалған ауданының фазалық көлемі сақталады. Сұйықтық тамшысы пішінін біртүрлі өзгертеді, бірақ көлемін сақтайды (17 -қосымшаны қараңыз). (2.8) туындысын кеңейте отырып, біз төрт мүшені аламыз. Олардың екеуі бір -бірін «өлтіреді», ал қалған екі Гамильтон теңдеуіне ауыстыру (2.3) Пуассон жақшасын береді. Нәтижесінде біз Лиувилл теңдеуін аламыз:

Біздің (2.8), (2.9) теңдеулеріміз Эйлер айнымалыларында жазылған. (2.9) теңдеудің сол жағы толық, лагранждық, уақыт туындысы екенін көруге болады:

Осылайша, Лиувилл теоремасының негізгі қорытындысын екі түрлі тұжырымдауға болады. Біріншіден, фазалық сұйықтықтың тығыздығы, яғни P (r, p) үлестіру функциясы dр / dt = 0 бейнелейтін нүктелердің қозғалыс траекториясы бойымен тұрақты. Екіншіден, стационарлық жағдайда фазалық көлем сақталады. Фазалық сұйықтық сығылмайды және фаза көлемінің тамшылары ағып кетеді, уақыт өте келе формасын өзгертеді, бірақ көлемін сақтайды (17 -қосымшаны қараңыз).

Эволюция кезінде фазалық көлем тұрақты болып қалса да, фазалық траекториялардың тұрақсыздығына байланысты бұл көлемнің формасы өте күрделі түрде өзгереді. Жақын нүктелер үлкен қашықтықта экспоненциалды түрде алшақтайды. Уақыт өте келе көлем сабынды көбікті еске түсіретін сәнді пішін алады. Осылайша, статистикалық ансамбль фазалық кеңістікте «араласу» қасиетіне ие.

Осылайша, стационарлық жағдайда үлестіру функциясы Гамильтонмен ауысады және қозғалыстың интегралы болып табылады. Демек, бұл қозғалыстың интегралдары болып табылатын координаталар мен моменттердің функцияларына байланысты. Осылайша , (r, p) өзі - Гамильтон теңдеулер жүйесінің (2.3) қозғалыс интегралдарының функциясы, оның ішінде 6N - 1 бар. Бұл көптеген фазалардың күрделі, бірмағыналы, «губкалы» функциялары. айнымалылар, және, ең бастысы, тәуелді емес.Бұл жағдайда үлестіру функциясының логарифмі статистикалық тәуелсіздіктің арқасында ішкі жүйелердің үлестіру функцияларының логарифмдерінің қосындысына тең, яғни бұл физикалық аддитивтік шама.Сондықтан, және үлестіру функциясында (r, p) өзі қозғалыстың аддитивті интегралдары болып табылатын координаттар мен моменттердің осындай комбинацияларына ғана тәуелді болуы мүмкін.