№7 Матрицаның жолдық және бағандық

Билет №7

1. 
   Матрицаның жолдық және бағандық рангтері.
   

А матрицасының жолдық рангі деп оның сызықты тәуелсіз жолдарының саны аталады және r(A) деп белгіленеді, сызықты тәуелсіз бағандарының саны бағандық ранг деп аталады және ρ(А) деп белгіленеді.
Сәйкесінше r(A^T) және ρ(A^T) деп A^T аударылған матрицаның жолдық және бағандық рангтері белгіленеді.
Теорема 1. Егер
₁₁x₁ + … + _1nx_n = 0
. . . . . . . . . .
_k1x₁ + … + _knx_n = 0 (1)
. . . . . . . . . .
_m1x₁ + … + _mnx_n = 0
біртекті жүйесі оның алғашқы k теңдеуінен құралған
₁₁x₁ + … + _1nx_n = 0
. . . . . . . . . (2)
_k1x₁ + … + _knx_n = 0
жүйесіне пара-пар болса, онда осы жүйелердің негізгі матрицаларының бағандық рангтері тең.
Теорема 2. Кез келген матрицаның жолдық рангі бағандық рангіне тең.
Теорема 3. Егер матрицаға элементар түрлендіру қолданса, онда матрицаның рангі өзгермейді.
Теорема 4. Сатылы матрицаның жолдық рангі оның нөлден өзгеше жолдарының санына тең.
Билет №8

1. 
   Сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділік критериі.
   

Теорема 1. (Кронеккер–Капелли). Сызықтық теңдеулер жүйесінің матрицасының рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болғанда, яғни r(A) = r( A ) болғанда, сонда ғана жүйе үйлесімді болады.
Теорема 2. Үйлесімді (1)-жүйенің кеңейтілген матрицасының рангі r болсын. Егер r = n болса, онда жүйе анықталған болады. Егер r < n болса, онда жүйе анықталмаған болады.
Билет №9

1. 
   Біртекті теңдеулер жүйелері және одарың қасиеттері.
   

Біртекті теңдеулер жүйесі:
₁₁x₁ + … + _1nx_n = 0
. . . . . . . . . . (1)
_m1x₁ + … + _mnx_n = 0
Біртекті жүйе, қандай болса да, үйлесімді, өйткені оның нөлдік шешімі бар: (0, 0,..., 0). Келесі қасиеттер орындалады:

1. 
   егер r(A) < n болса, онда жүйе анықталмаған, яғни шешімдер саны ақырсыз;
   
2. 
   егер r(A) = n, онда жүйе анықталған, яғни жүйенің жалғыз нөлдік шешімі болады.
   

Теорема 1. 1. Егер c векторы біртекті (1)-жүйенің шешімі болса, онда кез келген скалярына c векторы да жүйенің шешімі болады.
2. Егер с, d векторлары (1)-жүйенің шешімі болса, онда c + d қосындысы да жүйенің шешімі болады.
3. Біртекті жүйенің шешімдерінің кез келген сызықтық комбинациясы да біртекті жүйенің шешімі болады.
Біртекті (1)-жүйенің шешімдер жиыны n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің ішжиыны болады. Оны L деп белгілейік. Біртекті сызықтық теңдеулердің шешімдерінің L жиынының кез келген базисі шешімдердің фундаментальды жүйесі деп аталады.
Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі Гаусс әдісімен шешіледі.