АлғАШҚы функция және анықталмаған интеграл

Анықтама. Егер берілген аралықтағы барлық x үшін

болса, онда сол аралықта F функциясын f функциясы үшін алғашқы функция деп атайды.

1-мысал. функциясы функциясы үшін интервалында алғашқы функция болады, өйткені барлық үшін

Ал функциясының туындысы да сол болатынын байқау қиын емес, сондықтан функциясы да үшін R жиынында алғашқы функция болады. Әрине, 7 санының орны- на кез келген тұрақтыны қоюға болатыны айқын. Сонымен, алғашқы функцияны табу есебінің шектеусіз көп шешімдері болатынын көріп отырмыз. Осы шешімдердің барлығы да қалай табылатынын келесі пунктте көресіңдер.

2-мысал. функция үшін интервалында функцмясы алғашқы функция болады, өйткені осы интервалдағы барлық үшін:

1-мысалдағыдай-ақ, функциясы С кез келген тұрақты болғанда сол интервалында функция үшін интервалында алғашқы функция емес, өйткені теңдігі 0 нүктесінде орындалмайды. Алайда мына аралықтардың және

әрқайсысында функциясы үшін алғашқы функция болып табылады.

Алғашқы функцияның қасиеттері. Интегралдау есебі дегеніміз – берілген функция үшін оның барлық алғашқы функцияларын табу. Бұл есепті шығарғанда мына ұйғарымның атқарар ролі зор.

Функцияның тұрақтылық белгісі. Егер қандай да бір аралығында болса, онда функциясы осы аралықта тұрақты шама болады.

Дәлелдеу. аралығынан қандай да бір нүктесін белгілеп қояйық. Сонда осы аралықтағы кез келген саны үшін Лагранж теоремасы бойынша пен арасында жататын және

теңдігі орындалатындай с санын көрсетуге болады. Ал болғандықтан демек,

Сонымен, аралығынан алынған барлық үшін

яғни функциясы тұрақты мәнін сақтайды.

Барлық алғашқы функцияларлы бір ғана формуланың көмегімен жазып көрсетуге болады, оны функциясы үшін алғашқы функциялардың жалпы түрі деп атайды. Мына теорема тура (алғашқы функциялардың негізгі қасиеті):

Теорема. аралығында функциясы үшін алғашқы функциялардың кез келген мына түрде

жазып көрсетуге болады, мұндағы – кез келген тұрақты шама, Ал аралығында функциясы үшін алғашқы функциялардың бірі.

Осы пікірді түсіндірейік. Бұл пікір алғашқы функцияның кеі қасиетін қысқаша тұжырымдап отыр:

1. 
   (1) өрнектегі С-нің орнына қандай санды қойсақ та, аралығында үшін алғашқы функция
   

2) I аралығында үшін қандай алғашқы функция Ф-ті алсақ та, аралығындағы барлық x үшін

теңдігі орындалатындай, бір С санын таңдап алуға болады.

Дәлелдеу. 1) Шарт бойынша функциясы функция үшін аралығында алғашқы функция. Олай болса, кез келген үшін

Сондықтан

яғни функциясы - функциясы үшін алғашқы функция.

2) Айталық, функциясы функциясы үшін I аралығында алғашқы функциялардың бірі болсын, яғни барлық үшін болсын. Сонда

.
Бұдан функцияның тұрақтылық белгісі бойынша айырмасы аралығында қандай да бір тұрақты С шамасын қабылдайтын функция екендігі шығады.

Сонымен, аралығындағы барлық x үшін теңдігі тура, дәлелдеу керегі де осы болатын.

Алғашқы функциялардың негізгі қасиетіне геометриялық мағына беруге болады: функциясы үшін кез келген алғашқы екі функцияның графиктерін осінің бойымен параллель көшіру арқылы бірінен бірін шығарып алуға болады.

2. Алғашқы функцияларды табу мысалдары.

1-мысал. фунуциясы үшін R жиынында алғашқы функциясы үшін алғашқы функциялардың жалпы түрін табайық.

функциясы үшін алғашқы функциялардың бірі - функциясы екенін аңғарамыз, өйткені . Жоғарыда дәлелденген теорема бойынша f функциясы үшін алғашқы функция- лардың жалпы түрі мынадай:

.

2-мысал. функция үшін аралықта болғанда 1-ге тең мәнді қабылдайтын функцияны табайық.

3-мысал. Нүкте түзуді бойлай тұрақты a үдеумен қозғалып барады. Бастапқы уақыт мезетінде нүктенің бастапқы координатасы -ге, ал бастапқы жылдамдығы -ге тең. Нүктенің координатасын уақыттың функциясы ретінде табайық.

Ал және болғандықтан, шартынан мынау табылады: .

Бұдан шығатыны

4-мысал. функциясы үшін графигі нүктесі арқылы өтетіндей алғашқы функцияны табайық.

Төменде кейбір функциялар үшін алғашқы функциялардың кестесі келтіріліп отыр:

Алғашқы функцияларды табудың үш ережесі.

Бұл ережелер дифференциалдаудың сәйкес ережелеріне ұқсас.

1-ереже. Егер үшін алғашқы функция , ал үшін алғашқы функция болса, үшін алғашқы функция болады.

Шынында да, және болатындықтан, қосындының туындысын есептеу ережесі бойынша

2-ереже. Егер функциясыүшін алғашқы функция , ал – тұрақты шама болса, онда үшін алғашқы функция болады.

Шынында да, тұрақты көбейткішті туынды белгісінің алдында шығаруға болады, сондықтан

.

3-ереже. Егер функциясы үшін алғашқы функция, ал мен – тұрақты шамалар болып, сонымен бірге болса, онда Функциясы үшін алғашқы функция болады.

Шынында да, күрделі функцияның туындысын есептеу ережесі бойынша

.

Осы ережелер пайдаланылатын мысалдар келтірейік.

1-мысал. функциясы үшін алғашқы функциялардың жалпы түрін табайық.

x³ функциясыүшін алғашқы функциялардың бірі ал функциясы үшін алғашқы функциялардың бірі - болатындықтан, 1-ереже бойынша: функциясы үшін алғашқы функциялардың бірі - болады. Жауабы. .

2-мысал. функциясы үшін алғашқы функциялардың бірін табайық.

cos x функциясы үшін алғашқы функциялардың бірі sin x болатындықтан, 2-ережені пайдалана отырып, былай жазамыз, жауабы:

3-мысал. функциясы үшін алғашқы функциялардың бірін табайық.

sin x функциясы үшін алғашқы функциялардың бірі – cos x табылады, сондықтан 3-ереже бойынша ізделетін алғашқы функция мынаған тең: .

4-мысал. функциясы үшін алғашқы функциялардың бірін табайық.

функциясы үшін алғашқы функция болатындықтан, 3-ереже бойынша ізделетін алғашқы функция мынаған тең:

.