Қатарлар. Сандық қатарлар. Мүшелері оң қатарлар
жүктеу/скачать 72,7 Kb.
|
қатарлар
| Мысал 1. Мүшелері геометриялық прогрессияның мүшелерінің қосындысы болып келген сандық қатарды қарастыралық:
Осы қатарды жинақтылыққа зерттеп, қосындысын табалық. 1. болсын, өйткені қатар жинақталады және оның қосындысы 2. болсын, сонда өйткені сондықтан қатар жинақталмайды. 3. болсын, сонда қатар жинақталмайды. 4. болсын, n-і дербес қосындысын қарастырамыз: Егер n-жұп сан болса, онда , егер n тақ сан болса, онда дербес қосынды . n-ң әртүрлі мән қабылдайды, онда -ң шегі жоқ. Бұдан, қатардың жинақталмайтыны шығады. Қатардың қасиеттері. Мүшелері оң сандық қатары берілсін. Қатар жинақталады делік. 1-теорема. Егер жинақталатын қатардың барлық мүшелерін бір тұрақты санына көбейтсек, онда оның жинақтылығы өзгермейді: . (*) 2-теорема. Жинақталатын қатардың санаулы мүшесін алып тастаса (немесе қосса), онда қалған қатарда жинақты қатар болады. 3-теорема. Жинақталатын екі қатар берілсін: Егер мүшелері оң екі қатар жинақталатын болса, онда олардың сәйкес мүшелерінің қосындысынан (айырмасынан) құрылған қатарда жинақталады: , және де оның қосындысы: Қатар жинақталуының қажетті шарты Теорема. Егер (1) сандық қатар жинақталса, онда оның жалпы мүшесінің шегі бар және ол нөлге тең: 1-ескерту. Қажетті шарт қатардың жинақталмайтынын береді, яғни , онда қатар жинақталмайды. Егер де , онда қатар жинақтала ма әлде жинақталмай ма деген сұрақ туындайды. Мысал 2. Гармониялық деп аталатын қатарын жинақтылыққа зерттелік. n-і дербес қосындысын құрамыз: . -нің бір ғана өрнек түрінде қосындысын табу мүмкін емес. Сондықтан, бір топтың мүшелерін өзінің кіші мүшелерімен алмастыра отырып қатарды бағалаймыз: . Қосымша қатардың дербес қосындыларын табамыз: тан онда . Қосымша қатардың n-і дербес қосындысын қарастырамыз және оның шегін табамыз: Ендеше, қатар жинақталмыйды. гармониялық қатары жинақтылықтың қажетті шарты орындалса да жинақталмайды. 2-ескерту. Қатарды жинақтылыққа зерттеу үшін алдымен (4) қажетті шарттың орындалуын тексеру керек. Қатарларды салыстыру белгілері. Мүшелері оң екі қатар берілсін: және Теорема. (5) және (6) қатарлардың әрбір мүшесі үшін теңсіздігі орындалсын және егер мүшелері үлкен (6) қатар жинақталса, онда мүшелері кіші (5) қатарда жинақталады, егер мүшелері кіші (5) қатар жинақталмаса, онда мүшелері үлкен (6) қатар жинақталмайды. Мысал 3. қатарын жинақтылыққа зерттелік. Салыстыру үшін мүшелері осы қатардың мүшелерінен кіші гармониялық қатарды аламыз: . Кіші гармониялық қатар жинақсыз, онда теорема бойнша үлкен қатар -де жинақсыз. Теорема. (5) және (6) қатарлар берілсін. Егер жалпы мүшелерінің қатынасының шенеулі шегі бар болса, яғни онда бұл екі қатар бірдей жинақталады, не жинақталмайды. Мысал. Мүшелері оң қатарды зерттелік: . Бұл қатарды гармониялық қатармен салыстырамыз да жалпы мүшелерінің қатынасының шегін табамыз: - 1-і тамаша шек бойынша. Гармониялық қатар жинақсыз, онда берілген қатар да жинақсыз. Мүшелері оң қатарды қарастырамыз: жүктеу/скачать 72,7 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|