Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі Д. Серікбаев атындағы шығыс қазақстан мемлекет
жүктеу/скачать 4,25 Mb. Pdf көрінісі
|
методичка тер.мех
методичка тер.мех
- Бұл бет үшін навигация:
- 2.6 Қатты дене кинематикасы Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы
- Қатты дененің қозғалмайтын тұрақты өсті айнала қозғалысы А
- Айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулері
- Өз жазықтығында қозғалып бара жатқан жазық қима нүктелерінің жылдамдықтарын анықтау.
- 5-ші есептің шығару үлгісі.
4-ші есептің шығару үлгісі. Материялық нүктенің ху жазықтықтағы қозғалыс теңдеулері: x = - 2 cos ( 4 t) + 3, y = 2 sin ( 8 t) - 1 ( x, y ӛлшемдері - сантиметрмен, t ӛлшемі - секундпен ӛлшенеді). Нүкте траекториясының теңдеуін, t = 1c уақыт мезеті үшін нүктенің жылдамдығы мен үдеуін, сонымен қатар оның траекториясының сәйкес нүктесіндегі жанама мен нормаль үдеулерін және қисықтық радиусын анықтау керек. Есеп шешімі : 1. Нүкте траекториясының теңдеуін анықтау үшін берілген қозғалыс теңдеулерінен t уақытты алып тастау керек. t - тригонометриялық теңдеулердің аргументтерінде болған соң, мынадай формулаларды қолданамыз: сos 2α = 1 – 2 sin 2 α немесе cos ( 4 t) = 1 – 2 sin 2 ( 8 t). (2.1) Қозғалыс теңдеулерінен тиісті функцияларды тауып алып, оларға (2.1) теңдігін қоямыз. Сонда cos ( 4 t) = 2 3 х , sin ( 8 t) = 2 1 у , сонымен, 4 1 2 1 2 3 2 у х . Бұдан нүкте траекториясының мынадай теңдеуі шығады (бұл теңдеу парабола қисығы болып келеді, 2.1-сурет): x = (y + 1) 2 + 1. (2.2) 2. Нүктенің жылдамдығын оның координаталық ӛстердегі проекциялары арқылы табамыз. Жылдамдық проекцияларының жалпы түрі: V x = dt dx = 2 sin ( 4 t), 48 V y = dt dy = 4 cos ( 8 t); V = v x 2 + v y 2 . Уақыттың t = 1c мезетінде V 1x = 1,11см/с, V 1y = 0,73 см/с, V 1 = 1,33 см/с. (2.3) 3. Нүктенің үдеуін анықтаймыз: а x = 2 2 dt x d = 8 2 cos ( 4 t), а y = 2 2 dt y d = - 32 2 sin ( 8 t); а = a x 2 + a y 2 . Уақыттың t 1 = 1c мезетінде a 1`x = 0,87 см/с 2 , a 1y = - 0,12 см/с 2 , a 1 = 0,88 см/с 2 . (2.4) 4. V 2 = V x 2 + V y 2 теңдеуді дифференциялап нүктенің жанама үдеуін табамыз: 2V dV/dt = 2V x dV x /dt + 2V y dV y /dt, осыдан a x = dV/dt = (V x ·a x + V y ·a y )/V. (2.5) (2.5) формуладағы барлық шамалардың сан мәндері белгілі, (2.3) және (2.4) теңдеулермен берілген. Сол сандарды (2.5) қойып алып, уақыт t 1 = 1с мезетіндегі жанама үдеуді табамыз: a 1τ = 0,66 см/с 2 . 5. Нүктенің нормаль үдеуі а n = a 2 - a τ 2 . Осыған a 1 мен a 1τ шамаларын қойып уақыт t 1 = 1с мезетіндегі нормаль үдеуді анықтаймыз: a 1n = 0,58 см/с ә . 49 6. Нүкте траекториясының қисықтық радиусы ρ = V 2 /a n . Осыған V 1 және a 1n шамалардың мағынасын қойып, уақыт t 1 = 1с мезетіндегі қисықтық радиусын табамыз: ρ 1 = 3,05 см. Ескеру. Траекторияның қисықтық радиусы жалпы түрде уақыттқа тәуелді шама, ӛйткені қисық сызық әртүрлі қисықтық радиусы бар кӛптеген шеңберлер доғаларынан құрастырылған деп түсінеміз. Сонда қисықтың бойымен қозғалып тұрған материялық нүкте траекторисының қисықтық радиусы да ӛзгеріп тұрады. 7. Қозғалыстағы материялық нүктенің уақыт t 1 = 1с мезетіндегі траектория бойындағы орнын х пен у координаталары нұсқайды: х 1 = 1,6 см, у 1 = -0,2 см. 8. 2.2-кестесінде нүктенің уақыт t 1 = 1с мезетіндегі барлық кинематикалық сипаттамаларының (жылдамдық және оның проекциялары, үдеу және оның проекциялары, жанама, нормаль үдеулер, траекторияның қисықтық радиусы) сан мағыналары кӛрсетілген. Осы шамалар және траекторияның (2.2) теңдеуі бойынша материялық нүктенің уақыт t 1 = 1с мезетіндегі кинематикалық қозғалыс графигін саламыз. 2.2-кесте – Нүктенің уақыт t 1 = 1с мезетіндегі кинематикалық сипаттамалары. Координата, см Жылдамдық, см/с Үдеу, см/с ә Қисықтық радиусы, см х 1 у 2 V 1x V 1y V 1 a 1x a 1y a 1 a 1τ a 1n ρ 1 1,6 - 0,2 1,11 0,73 1,33 0,87 -0,12 0,88 0,66 0,58 3,05 9. Алдымен Оху координаталық осьтерді қабылдаймыз да, оған қолайлы масштаб кіргіземіз. Осы осьтерге тиімді траекторияның қисық сызығын суретке түсіреміз (2.1-сурет). Материялық нүктенің уақыт t 1 = 1с мезетіне траекторияның бойындағы М 1 (х 1 , у 1 ) орнын х 1 , у 1 координаталар арқылы табамыз. Жылдамдық векторын оның бӛлшектері арқылы сызамыз: V 1 = V 1x + V 1y . Оның үстіне V 1 вектордың траектория жанамасында орналасуы қажет. Дәл солай үдеуді де кӛрсетеміз: а 1 = а 1х +а 1у . 50 Содан кейін а 1τ жанама үдеуді суретке саламыз. Оның шама таңбасы V 1 жылдамдықтың таңбасымен бірдей (екеуі де плюс), сондықтан нүкте қозғалысы үдемелі болып келеді. a 1 = a 1τ + a 1n екенін ескере отырып нормаль үдеуді суретте кӛрсетеміз. Жылдамдық пен толық үдеудің векторлары бір жаққа қарай бағытталғаны материялық нүктенің қозғалыс түрі үдемелі екенін нұсқайды да жоғарыда осы туралы айтылғанды құптайтын дәлел болып келеді. 2.6 Қатты дене кинематикасы Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы Қатты дене қозғалысының 6 түрі бар: 1) ілгерілемелі, 2) тұрақты ӛстен айналмалы, 3) жазық - параллель, 4) сфералық, 5) күрделі, 6) еркін қатты дене қозғалысының жалпы жағдайы. А: Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы деп оның әрбір екі нүктесін қосатын түзулердің кез-келгені ӛзіне ӛзі тек параллель қозғалатындай қозғалыс түрін айтамыз. Ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің барлық нүктелері бірдей қозғалады. Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы оның бір нүктесінің қозғалысымен толық сипатталады. Үш ӛлшемді кеңістікте ілгерілемелі қозғалыстағы дененің еркіндік дәреже саны үшке тең. Оның қозғалысын үш тәуелсіз координаталық түрдегі қозғалыс теңдеулерімен былай жазуға болады V 1 -3 -2 O -1 6 5 4 3 2 1 a 1n a 1τ a 1 a 1y a 1x x y V 1y V 1x М 1 2.1-сурет. 51 х М = x(t), y М = y(t), z М = z(t), мұндағы М – дененің кез-келген нүктесі. Ілгерілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің траекториялары, жылдамдықтары және үдеулері туралы теорема: ілгерілемелі қозғалыста дене нүктелерінің траекториялары, жылдамдықтары мен үдеулерінің әрбір уақыт кезінде мәндері мен бағыттары бірдей, яғни дене нүктелері конгруэнтті қозғалыста болады. Мысалы: А В А В а а v v , Қатты дененің қозғалмайтын тұрақты өсті айнала қозғалысы А: Егер қозғалыстағы дененің кем дегенде екі нүктесі қозғалмайтын болса, онда мұндай дене тұрақты (қозғалмайтын) ӛстен айналмалы қозғалыста болады. Дененің кез келген уақыттағы орнын анықтайтын айналу (бұрылу) бұрышы деп аталатын жазық бұрышы мен уақыттың арасындағы байланыс: = (t) дененің қозғалмайтын ӛстен айналмалы қозғалысының теңдеуі немесе айналу заңы болып табылады. 52 Дененің айналу бұрышы уақыттың ӛтуіне қарай ӛзгеру тездігін белгілейтін бұрыштық жылдамдық векторы: k . мұндағы теңдіктегі - k - айналу ӛсінің бірлік векторы, - алгебралық бұрыштық жылдамдық. Бұрыштық жылдамдық векторын айналу ӛсі бойымен бағыттайды және осы вектордың ұшынан бақылаушы дененің айналуы сағат тілі айналуына қарама-қарсы бағытта екенін кӛреміз, яғни векторының бағыты оң бұранда ережесімен анықталады. Бұрыштық жылдамдықтың ӛзгеруін бұрыштық үдеу векторы сипаттайды: k Бұрыштық үдеу векторы айналу ӛсінің бойымен бағытталады. Дененің үдемелі айналмалы қозғалысында және векторлары бағыттас, ал кемімелі қозғалысында қарама-қарсы болады. Бұрыштық жылдамдық ӛлшемі - рад/с, бұрыштық үдеу ӛлшемі - рад/с 2 . Тұрақты ӛсті айнала қозғалысының дербес жағдайлары. Егер айналмалы қозғалыстың барлық кезеңінде бұрыштық жылдамдық тұрақты сonst болса, онда айналмалы қозғалыс бірқалыпты болады. Мұндай қозғалыс теңдеуін (43) формуласынан анықталған интеграл табу арқылы анықталады: = 0 + t Егер айналмалы қозғалыстың барлық кезеңінде бұрыштық үдеу тұрақты сonst болса, онда айналмалы қозғалыс бірқалыпты айнымалы (үдемелі немесе кемімелі) болады. Дененің айналысының бірқалыпты айнымалы заңы келесі түрде болады: t о 2 2 0 0 t t айналу бұрышы мен N айналым саны және бұрыштық жылдамдық пен техникада жиі кездесетін айналу жиілігінің мин айн п, араларындағы механика есептерін шығаруда пайдаланатын байланыстар: N 2 , 30 60 2 n n . 53 Айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулері Дене айналғанда, оның барлық нүктелері радиусы h-қа тең жазықтығы айналу ӛсіне перпендикуляр болатын шеңбер сызады. Бұл шеңбердің О центрі айналу ӛсінде жатады. Айналмалы қозғлыстағы дене нүктесінің жылдамдығы дененің бұрыштық жылдамдығы мен нүктенің айналу ӛсіне дейінгі қашықтығының кӛбейтіндісіне тең: v = h Жылдамдық векторы шеңбердің А нүктесінен жүргізілген жанаманың бойымен айналу бағытына қарай бағытталады. Жалпы жағдайда айналмалы қозғалыстағы дене нүктесінің үдеуі бір біріне перпендикуляр екі құраушылардан тұрады. Шеңбер бойымен қозғалған нүктенің жанама үдеуі a = h және оның нормаль үдеуі: a n = 2 h. Нүктенің толық үдеу векторының модулі a = h 2 4 . 2.7 Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы деп, дененің барлық нүктелері қозғалмайтын деп алынған негізгі жазықтыққа параллель жүргізілген жазықтықтардағы қозғалысын айтады немесе дене нүктелері қозғалмайтын жазықтыққа параллель жүргізілген ӛз жазықтықтарында қозғалыста болады. 54 Дененің мұндай қозғалысын қарапайым түрге келтіруге болады, яғни негізгі жазықтыққа параллель қимасының ӛз жазықтығындағы қозғаласы қарастырылады. Жазық қиманың қозғалысын бір мезгілде екі қозғалыстың қосындысынан тұрады деп қарастыруға болады. Оның біреу – жазық қиманың полюс деп алынған кез келген бір А нүктесімен ілгерілей қозғалуы; екіншісі – сол полюс тӛңерегіндегі оның айналмалы қозғалысы. Жазық қиманың айналмалы қозғалысындағы бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу полюсті таңдауымыздан тәуелсіз шамалар. Жазық қиманың орны хоу жазықтығында кез келген АВ кесіндісінің орнымен анықталады. Кесіндінің орнын білу үшін А нүктесінің координатасымен бұрышы берілсе жеткілікті. Қозғалыс барысында бұл шамалар уақытқа байланысты ӛзгереді, яғни x A = x(t), y A = y(t), = (t) бұл дененің жазық-параллель қозғалысының кинематикалық теңдеуі. Өз жазықтығында қозғалып бара жатқан жазық қима нүктелерінің жылдамдықтарын анықтау. Жазық қима нүктесінің жылдамдығын полюс арқылы анықтау. Жазық фигураның кез келген М нүктесінің жылдамдығы полюс деп алынған А нүктесінің жылдамдығы мен осы М нүктесінің полюс тӛңерегіндегі салыстырмалы айналмалы қозғалысындағы сызықтық жылдамдығының геометриялық қосындысына тең: АМ МА A M v v v Есеп шарты бойынша қай нүктенің жылдамдығы белгілі, сол нүктені полюс ретінде қабылдайды. 55 АМ жылдамдығының векторы қозғалып бара жатқан фигура жазықтығында жатады және оның модулі тең болады: АМ v МА Нүкте жылдамдығының екі құраушысын векторларды қосу ережесі бойынша қосады (геометриялық немесе аналитикалық әдіспен). Жазық қима нүктесінің жылдамдығын проекция әдісі бойынша анықтау. Теорема: Жазық қиманың кез келген екі нүктесінің жылдамдықтарының осы нүктелерді қосатын түзуге проекциялары ӛзара тең болады. АХ ВХ v v , cos cos A В v v . Жазық қима нүктесінің жылдамдығын лездік жылдамдықтар центрі арқылы анықтау. Теорема: Әрбір жеке уақыт кезеңінде ӛз жазықтығында қозғалатын жазық қиманың жылдамдығы нӛлге тең бір ғана нүктесі болады. Бұл нүкте жазық қиманың лездік жылдамдықтар центрі деп аталады (Р нүктесі). ЛЖЦ-нің орнын анықтау тәсілдері (сурет 4). 56 2.8 5-ші есеп. Жазық тетігінің кинематикалық сипаттамаларын табу Схемада кӛрсетілген тетік орнына сәйкес В және С нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулерін және осы нүктелер жататын буынның бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуін табындар. Тетіктер схемалары 2.2(а,б,в,г)-суреттерде, ал есептеуге керекті шамалардың мәндері 2.3-кестеде кӛрсетілген. 2.3-кесте – 5-ші есептің шарттары Вариант нӛмірі Ӛлшемдер, см рад/с , OA рад/с , I 2 OA ðàä/ñ , ñì/ñ , A 2 см/с , A a OA r AB AC 1 40 15 - 8 2 - 2 - - 2 30 15 - 8 3 - 2 - - 3 - 50 - - - - - 50 100 4 35 - - 45 4 - 8 - - 5 25 - - 20 1 - 1 - - 6 40 15 - 6 1 1 0 - - 7 35 - 75 60 5 - 10 - - 8 - - 20 10 - - - 40 20 9 - - 45 30 - - - 20 10 10 25 - 80 20 1 - 2 - - 11 - - 30 15 - - - 10 0 12 - - 30 20 - - - 20 20 13 25 - 55 40 2 - 4 - 0 14 45 15 - 8 3 12 0 - 0 15 40 15 - 8 1 - 1 - 0 16 55 20 - - 2 - 5 - 0 17 - 30 - 10 - - - 80 50 18 10 - 10 5 2 - 6 - - 19 20 15 - 10 1 2,5 0 - - 20 - - 20 - - - 10 15 21 30 - 60 15 3 - 8 - - 22 35 - 60 40 4 - 10 - - 23 - - 60 20 - - - 5 10 24 25 - 35 15 2 - 3 - - 25 20 - 70 20 1 - 2 - - 26 20 15 - 10 2 1,2 0 - - 27 - 15 - 5 - - - 60 30 28 20 - 50 25 1 - 1 - - 57 2.2(а)-сурет 58 2.2(б)-сурет 59 2.2(в)-сурет 5-ші есептің шығару үлгісі. Тетік схемасының орны (2.3-сүрет), есептеуге қажетті шамалар OA = 40 см, AC = 20 см, АС=СВ, ω OA = 5 рад/с, ε OA = 10 рад/с 2 . Табу керек: AB AB C B C B a a , , , , , |