Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі Д. Серікбаев атындағы шығыс қазақстан мемлекет

 
104 
Салмақ  күштер  әсерінен  механикалық  жүйе  қозғалысын  тыныштықтан 
бастайды.     
1    дененің  сырғанау  үйкеліс  күшін  және    сырғанамай  тербелген  3  
катоктың тербеліске карсыласуын ескере тұрып, басқа қарсыласу күштерді және 
созылмайды  деп  санаған  жіптердің  массаларын  еске  алмай,  1    дененің,  оның 
ӛткен жолы   S-ке тең болған уақыт мезетіндегі  жылдамдығын анықтау керек.   
Берілгені: m
1 
– 1  жүктің массасы; 
 
m
2
 = 
3
1
 m
1
 ;  m
3
 = 2m
1
 ; 
  
R
2
 =20 см;  R
3 
 
=30 см;  r
2
 = 15 см;  i
2x
 =17 см;  

 = 30
0
;  

 = 60
0
;   f = 0,2;  

 = 0,25 см;  S = 6 м. 3 
каток  –  біртекті  тұтас  цилиндр.  3.4-суретте  механикалық  жүйенің  бастапқы 
орны кӛрсетілген.   
 
Анықтауға жататыны: 
1

- 1  жүктің ақырғы орнындағы жылдамдығы.   
 
Есеп шешімі: 
 
1. Есепті шығару үшін механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының 
ӛзгеруі туралы теореманы қолданамыз:  
 
 
Т-Т
0
 = 



i
к
к
А
А

,                                                                                  (3.1) 
 
Қайда    Т  и  Т
0
  –  механикалық  жүйенің  бастапқы  және  ақырғы  орындарындағы 
кинетикалық  энергиялары;   
      


к
А
  -  механикалық  жүйеге,  оның  бастапқы  орнынан  ақырғы  орнына 
ауыткығанда әсер еткен сыртқы күш жұмыстарының қосынды саны;   
      

i
к
А
  -  механикалық  жүйенің  дәл  сол  орынауыстыруындағы  ішкі  күш 
жұмыстарының қосындысы. 
 
 Созылмайтын  жіптермен  қосылған  абсолют  қатты  денелерден  құралған 
жүйе үшін   
1 
S 

 
3 

 
2 
С 
R
3 
0 
R
2 
r
2 
3.4-сурет. – Механизмің бастапқы орын схемасы. 
 

 
105 

i
к
А
= 0. 
 
Механикалық жүйе бастапқы орнында тыныштықта болған соң 
 
Т
0
 = 0. 
 
Сондықтан,  (3.1)  теңдеу келесі түрге келеді:   
 
 Т = 


к
А
.                                                                                                  (3.2) 
 
        
 
 
2.  Т    кинетикалық    энергияны    және  сыртқы  күш  жұмыстарының  
қосындысын  анықтау  үшін  механикалық  жүйенің  ақырғы  орнын  бейнелеу 
қажет  (3.5-сурет). 
 
Жүйе  нүктелерінің  жылдамдықтары  мен  орынауыстыруларының 
арасындағы кинематикалық байланысты жазамыз, яғни, байланыс теңдеулерін, 
сонымен  бірдей  жылдамдықтар  мен  орынауыстыруларды  1    жүктің 
жылдамдықтары мен орынауыстырулары арқылы сәйкес білдіреміз.    
2    барабан  тоғындарының  әрбіреуінің  айналдыру  жылдамдығы  сол 
барабаннан түскен жіптің жылдамдығына тең  (3.5-сурет). 
Сондықтан,  
 
2
1
2
R



 и 
2
2
1
R
r
c



, 
 
қайда   
2

  -  2  барабандардың  бұрыштық  жылдамдығы; 
c

  -  3    катоктың  С 
ауырлық центрінің    жылдамдығы. 
       
 
 
1
2
2


R
r
с

.                                                                                                (3.3) 
1 
1

 

 
3 

 
2 
С 
0 
c

 
z
 
3

 
1

 
x
 
x
 
y
 
c

 
Р 
2

 
3.6-сурет. – Нүкте жылдамдықтарының схемасы.   

 
106 
3    каток  сырғанамай  тербеліс  қозғалыста  болғандықтан,  оның 
жылдамдықтарының  лездік  орталығы    Р    нүктеді  орналасқан.  Сондықтан    3  
катоктың бұрыштық жылдамдығы   
 
1
3
2
2
3
3




R
R
r
R
СР
с
с



.                                                                         (3.4) 
 
Механикалық жүйенің ақырғы орнындағы кинетикалық энергиясын  1,2,3  
денелердің кинетикалык энергия қосындысы ретінде санап шығарамыз:  
 
Т = Т
1
 + Т
2
 + Т
3
 .                                                                                        (3.5)                    
 
Ілгерілемелі қозғалыстағы  1  жүктің кинетикалық  энергиясы    
 
Т
1
 = 
2
2
1
1

m
. 
 
Тұрақты  оське  қатысты  айналу  қозғалыстағы    2    барабандардың 
кинетикалық энергиясы  
 
Т
2
 = 
2
2
2
2
1

x
J
, 
 
қайда   
x
J
2
 - барабандардың  Ох  ӛске қатысты  инерция моменті:   
 
x
J
2
 = m
2
 
2
2x
i
. 
 
 
Жазық параллель қозғалыстағы  3  катоктың кинетикалық энергиясы   
 
Т
3
 = 
2
2
2
3
3
2
3

x
c
J
v
m

, 
 
қайда   
x
J
3
 - 3  катоктың  Сх  ӛске қатысты инерция моменті:   
 
x
J
3
= 
2
2
3
3
R
m
.  
 
 
Есеп  шартында  берілген  массалардың,  инерция  моменттерінің  сан 
мағыналарын,  есептеу  ретінде    табылған   
c
v , 
2

    және 
3

  шамаларын    (3.5)  
формулаға қойып, механикалық жүйенің кинетикалык энергиясын анықтаймыз:  
 
Т = 











2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
3
3
1
1
2
R
r
R
i
v
m
x
 
Немесе 
 Т  = 2,93
2
2
1
1
v
m
.                                                                                          (3.6) 
 

 
107 
Механикалық  жүйенің  берілген  орынауыстыруында  оған  әсер  ететін  сыртқы 
күштердің  жұмыстарының  қосындысын  анықтаймыз.  Жүйеге  әсер  салған 
сыртқы күштеді суретте бейнелейміз (3.7-сурет).  
 
                                
 
 
 
 
 
1
G

  ауырлық күшінің жұмысы  
 

sin
gs
m
h
G
A
G
1
1
1
1


.                                                                           (3.7) 
 
1
N
 мен  
3
N
   нормальдық реакциялардың жұмыстары нольге тең.   
1
F
   сырғанау ұйкеліс күшінің жұмысы  
 
S
F
A
Тр
F
1


. 
 
 
Кулон заңы бойынша 
 

cos
1
1
1
fG
fN
F


, 
 
сондықтан, 
 

cos
gS
fm
A
Тр
F
1


.                                                                            (3.8) 
 
 
2
G

, 
0
У

  мен 
0
Z

  тұрақты  нүктелерге  бекітілген,  сондықтан  олардың 
жұмыстары нольге тең.   
 
3
G

  күштің жұмысы  
 

sin
c
c
G
gS
m
h
G
A
3
3
3




,                                                                     (3.9) 
G
1 
1 

 
3 

 
2 
G
3 
N
3 
0 
сц
F
 
z
 
с
М
 
0
Z
 
x
 
Y
0 
y
 
N
1 
x
 
G
2 
С 
F
1 
3.7-сурет – Механикалық жүйеге әсер салатын күштердің 
схемасы.  

 
108 
қайда     S
c
 – катоктың ауырлық орталығының орынауыстыруы.   
 
F
cц
    күштің  жұмысы  нольге  тең,    ӛйткені  ол  жылдамдықтардың  лездік 
орталығына түскен. 
 
3  катоктың тербелісіне қарсыласу қос күштер моментінің жұмысы   
 
А
мс
 = - М
с 
3

, 
 
қайда   М
с
 = 

 N
3
 = 

 G
3 
cos

   -  тербеліске қарсыласу қос күштерінің моменті;  
3

 –  3  катоктың айналу бұрышы.   
 
Сонымен,   
 
А
мс
 = - 

 m
3
 g cos 

 
.
 
3

 
                                                                             (3.10) 
 
 
Механикалық  жүйеге  әсер  еткен  барлық  сыртқы  күштер  жұмыстарының 
қосындысы      (3.7),  (3.8),  (3.9),  (3.10)    формулаларда  анықталған  жұмыстарды 
қосу арқылы табылады:  
 









3
3
3
1
1






cos
sin
cos
sin
g
m
gS
m
gS
fm
gS
m
A
c
к

(3.1.11) 
 
 
Катоктың ауырлық орталығының S
c
 орынауыстыруынын және  
3

 
айналу 
бұрышын
 
жүктің    S    орынауыстыруы  арқылы  кӛрсетеміз.  Сызықша  (немесе 
бұрыштық)  орынауыстырулар  ӛзара  дәл  сызықша  (немесе  бұрыштық) 
жылдамдықтардай тәуелділікте, сондықтан,  (3.1.3)  және  (3.1.4)  формулаларға 
сәйкес алатынымыз:  
 
S
R
r
S
c
2
2

  және  
S
R
R
r
R
S
c
3
2
2
3
3



. 
 
 
Бұл шамаларды  (3.11)  формулаға кіргіземіз:   
 





)
cos
sin
cos
(sin
3
2
2
2
2
1
2
2
R
R
r
R
r
f
gS
m
А
к






, 
 
немесе 



к
А
0,004 m
1
gS .                                                                                 (3.12) 
 
 
(3.2)  теорема бойынша  (3.6) және  (3.12)  формулалармен анықталатын         
Т  мен  


к
А
   шамаларын  ӛзара теңестіреміз:   
 
2,93
2
2
1
1
v
m
 = 0,004 m
1
gS, 
бұдан 
  v
1
 = 0,40 м/с. 
 
Сонымен,  механикалық  жүйенің  ақырғы  орынауыстыру  қалпында  1  
жүктің жылдамдығы анықталды деп санаймыз.  
 

 
109 
3.8 Даламбер принципі 
 
1.  Даламбердің  инерция  күші  немесе  жай  ғана  материялық  нүктенің  
инерция  күші  деп  модулі  нүктенің  массасы  мен 
үдеуінің  кӛбейтіндісіне  тең  және  ӛзі  сол  үдеуге  теріс 
қарай бағытталған векторды айтады: 
 
Ф
и
 = - m a. 
 
2.  Материялық  нүкте  үшін  Даламбер  принципі: 
егер әр уақыт кезеңінде қозғалып тұрған материялық 
нүктеге  нақ  әсер  еткен  күштерге  инерция  күші 
қосылса, онда алынған күштер жүйесі тепе-теңдікте 
болады 
 
Σ F
k
 + Ф 
и
 = 0. 
 
Инерция күші нүктеге түспейді, әйтпесе, нүктенің ӛзі тепе-теңдікте болар 
еді де, оның жылдамдығы нольге тең болып кетер еді  (V = const),  ал шынында 
нүкте  
a = dV / dt  ≠ 0 
 
үдеумен қозғалады, яғни,  V – ӛзгермелі шама.   
3.  1)  Механикалық  жүйе  үшін  Даламбер  принципі  былай  айтылады: 
қозғалыстағы  механикалық  жүйенің  сыртқы  күштерінің  және  инерция 
күштерінің бас векторларының қосындысы нөлге тең   
 
Σ F
k
е
 + Ф
*
 = 0,    
 
қайда Ф
*
 - инерция күштерінің бас векторы. 
2)  Механикалық  жүйе  үшін  Даламбер  принципі  былай  айтылады: 
қозғалыстағы  механикалық  сыртқы  күштерінің      және  барлық  инерция 
күштерінің тұрақты бір орталыққа қатысты бас моменттерінің қосындысы 
нөлге тең   
 
Σ m
O
 (F
k
) + M
O
*
 = 0, 
 
қайда   M
O
*
 - инерция күштерінің бас  моменті.   
Бірге  қарастырылатын  Даламбер  принципінің  екі  түрі  тек  сырттай  ғана 
статиканың  негізгі  теоремасын  еске  түсіреді.  Статиканың  негізгі  теоремасы 
бойынша абсолют қатты денеге әсер ететін күштердің тепе-теңдікте болуының 
қажетті  де  жеткілікті  шарты  сол  күштердің  бас  векторы  мен  бас  моментінің 
нӛлге теңдігінде. 
Біздің  жағдайда,  күштердің  абсолют  қатты  дене  емес  механикалық 
жұйеге әсер ететінін естен шығармау керек. Тек дербес жағдайда, механикалық 
O 
z 
у 
х 
М 
а 
Ф
и
 
 

 
110 
жүйе  абсолют  қатты  дене  болғанда  ғана  барлық  нүктелердің  инерция 
күштерінің бас векторы мен бас моментіне эквивалент екені анық.  
3.  Абсолют  қатты  дене  үшін  Даламбер  принципі  былай  айтылады: 
қозғалыстағы  абсолют  қатты  дененің  сыртқы  күштерінің  және  инерция 
күштерінің  бас  векторларының  қосындысы,сонымен  қатар,  сыртқы 
күштерінің      және  барлық  инерция  күштерінің  тұрақты  бір  орталыққа 
қатысты бас моменттерінің қосындысы нөлге тең   
 
Σ F
k
е
 + Ф
*
 = 0,   Σ m
O
 (F
k
) + M
O
*
 = 0. 
 
қайда  Ф
*
  -  инерция  күштерінің  бас  векторы;      M
O
*
  -  инерция  күштерінің  бас  
моменті.   
Координаталық  ӛстердегі  проекцияларында  бұл  теңдіктер  статика 
теңдеулеріне сәйкес теңдеулер береді:  
   
Σ F
kx
  +  Ф
*
х
 = 0,   
 
Σ F
ky
  +  Ф
*
у
 = 0, 
 
 Σ F
kz
  +  Ф
*
z
 = 0, 
 
 Σ m
O
(F
k
) + M
Ox
*
 = 0,  
 
 Σ m
O
(F
k
)  + M
Oy
*
  = 0,  
  
Σ m
O
(F
k
) + M
Oz
*
  = 0. 
 
Бұл  теңдеулер  жүйесін  кинетостатика  теңдеулері  деп  атайды.  Даламбер 
принципі  динамиканың  кӛптеген  есептерін  статика  әдістерімен  шығаруға 
мүмкіндік береді, сондықтан бұл әдісті  кинетостатика әдісі  деп атайды. Бұл 
теңдеулерді  есептерді  шығаруға  қолдану  үшін  қатты  дененің  инерция 
күштерінің бас векторы мен бас моментінің ӛрнектерін білу қажет.   
  Абсолют  қатты  дененің  инерция  күштерінің  бас  векторы  қатты  дене 
массасы  шоғырланған,  материялық  нүкте  ретінде  алынған  масса 
орталығының инерция күшіне тең:  
 
Ф
*
 = - m a
C
. 
 
Қатты  дененің  инерция  күштерінің  бас  моменті  оның  әртүрлі  қозғалыс 
жағдайына байланысты. 
4. 1) Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысында оның инерция күштерінің 
бас моменті нөлге тең болады да, бас  векторы  дененің 
массалар орталығынан өтеді: 
 
Ф
*
 = - m a
C
.  
 
С 
V
C
 

 
111 
2)  Маса  орталығынан  өтетін  тұрақты  өске  қатынас 
айнала қозғалыстағы қатты дененің инерция күштерінің бас 
векторы нөлге тең болады да, бас моменті: 
 
M
z
*
 = - J
z
 · ε, 
 
қайда  J
z
 – дененің айналу ӛске қатысты инерция моменті;  ε – 
дененің айналу ӛске қатысты бұрыштық үдеуі. 
 
 
3)  Маса  орталығынан  өтпейтін 
тұрақты  өске  қатысты  айнала  қозғалыстағы  қатты 
дененің  инерция  күштері  бас  векторы  мен  сол  өске 
қатысты бас моментіне  келтірілед: 
 
Ф
*
 = - m a
C
 ,    M
z
*
 = - J
z
·ε. 
 
 
 
4) 
Қатты  дененің  жазықтыққа  параллель  (жазық)  қозғалған 
жағдайында  оның  инерция  күштерінің  бас  векторы 
дененің  масса  орталығына  түскен,  шамасы  дене 
массасы  мен  масса  орталық  үдеуінің  қөбейтіндісіне 
тең,  ал  бас  моменті    масса  орталығынан  денеге  тік 
ӛтетін  ӛске  қатысты  инерция  моменті  мен  бұрыштық 
үдеудің кӛбейтіндісіне тең: 
 
Ф
*
 = - m a
C
 ,    M
z
*
 = - J
Cz
·ε. 
 
Тұрақты  ӛсті  айнала  қозғалған  дене  мойынтіректерінің  динамикалық 
реакцияларын анықтау. 
 
Тұрақты  айналу  ӛсі    О    табандамасы 
(ӛкшелік)  мен    А    мойынтірегіне  (подшипник) 
бекітілген  қатты  денені  қарастырайық  (Д.1  – 
сурет).  Денеге    А
k
  (k=1,2,3,…,n)    нүктелеріне 
бекітілген    F
k
(k=1,2,3,…,n)  күштер  жүйесі  әсер 
етеді. Денеге қатаң бекітілген  Oxyz  координата 
ӛстерінің  бас  нүктесін    О  табандамасына 
орналастырайық.  Табандаманың  реакциясын  үш  
X
O
, Y
O
, Z
O
      құрамдасқа, ал  А  мойынтіректің 
реакциясын  z  ӛсіне перпендикуляр екі  X
А
,  Y
А
  
құрамдасқа  жіктейміз.  Бұған  ұқсас  есеп: 
табандама  мен  мойынтіректің  реакцияларын 
анықтау,  статика  бӛлімінде  де  қарастыралады, 
 
С 
 
С 
О 
 
С 
V
C 
ω 
 
Ф
* 
M
O
* 
ω   
 ε 
Y
A 
F
k
 
X
A 
Y
O 
X
O 
y 
x 
z 
Z
O 
A 
O 
A
k
 

 
112 
бірақ  онда  дене  тепе-теңдікте  болған.  Енді  біздер  дене  тұрақты    z    ӛсін    ω  
бұрыштық  жылдамдығымен  және    ε    бұрыштық  үдеуімен  айналған  кездегі 
табандама мен мойынтіректің реакцияларын анықтауды мәселе етіп қоялық. 
Есепті  кинетостатика  әдісін  қолданып  шығарамыз.  Денеге  әсер  етуші 
сыртқы    F
k
(k=1,2,3,…,n),    X
O
,  Y
O
,  Z
O
,    X
А
,    Y
А
    күштерге  дененің  барлық 
нүктелерінің  инерция  күштерін  қосамыз.  Әсер  етуші  күштер  мен  инерция 
күштерін    О    орталығына  келтірейік.  Сонда  Даламбер  принципі  бойынша 
абсолют  қатты  дене  үшін  алынған  күштер  жүйесінің  тепе-теңдік  шарттары 
орындалады:  
 
Σ F
k
е
 + Ф
*
 = 0,   Σ m
O
 (F
k
) + M
O
*
 = 0. 
 
Бұл  векторлық  теңдеулерді      x,  y,  z      координата  ӛстеріне  проекциялап 
жазсақ ,   X
O
, Y
O
, Z
O
,  X
А
,  Y
А
   белгісіз реакцияларын анықтайтын теңдеулерді 
аламыз. Алдын ала инерция күштерінің бас векторының   
 

жүктеу/скачать 4,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: