Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі Д. Серікбаев атындағы шығыс қазақстан мемлекет

Ф
*
 = - m · a
C
  
 
x,  y,  z    ӛстеріндегі  проекцияларын  есептейік.  Ол  үшін,  кинематикадан  белгілі, 
тұрақты    z    ӛсін  айнала  қозғалған  дене  нүктелерінің  вектор  үдеулерінің 
проекцияларын  анықтайтын  ӛрнектерді  масса  орталығының    О(x
С
,  y
С
,  z  )  
үдеуінің проекцияларын   a
Cx
 , a
Cy
 , a
Cz
   табу үшін қолданамыз.  
Нәтижесінде  
 
Ф
х
 = - m (-εy
C
 – ω
2
x
C
); 
 
Ф
у 
 = -m (-εx
C
 – ω
2
y
C
); 
 
                                                     Ф
z
 = 0  
 
екенін анықтаймыз. 
Тұрақты ӛсті айнала қозғалған дененің инерция күштерінің   x, y, z   
координата ӛстеріне қатысты бас моменттері  
 
M 
x
 =  εJ
zx
 – ω
2 
J
yz
 ;  
 
M 
y
 =  εJ
yz
 + ω
2 
J
zx
 ;  
 
                                                M 
z
 =  - εJ
z
 . 
 
Енді кинетостатиканың теңдеулерінің бесеуін құрамыз: 
  
Σ F
kx
  +  Х
О
 + Х
А
 + m εy
C
 +m ω
2
x
C
 = 0,   
 
Σ F
ky
  +  Y
O
 + Y
A
 – m εx
C
 +m ω
2
y
C
 = 0, 

 
113 
 
                                    Σ F
kz
  +  Z
O
 = 0,                                                                
 
                                   Σ m
x
(F
k
) -  Y
A 
·OA +  εJ
zx
 – ω
2 
J
yz
  = 0,  
 
Σ m
y
(F
k
)  + X
A
 ·OA +  εJ
yz
 + ω
2 
J
zx
  = 0.  
 
Бұл теңдеулер бес белгісіз   X
O
,  Y
O
,  Z
O
,    X
А
,    Y
А
      динамикалық  реакцияларын 
анықтауға мүмкіндік береді. 
Бұл  жерде    ω  =  0    және    ε  =  0  деп  есептесек,  онда  статикалық 
реакцияларды анықтайтын теңдеулерді аламыз:  
 
Σ F
kx
  +  Х
О
С
 + Х
А
С
  = 0,   
 
Σ F
ky
  +  Y
O
С
 + Y
A
С
 = 0, 
 
                                               Σ F
kz
  +  Z
O
С
 = 0,                                                 
 
                                               Σ m
x
(F
k
) -  Y
A
С
 
·OA = 0,  
 
 Σ m
y
(F
k
)  + X
A
С
 ·OA = 0.  
 
(1)  теңдеулерден    (2)    сәйкес  теңдеулерін  шегеріп,  динамикалық  және 
статикалық  реакциялардың  айнымалыларын  анықтайтын  теңдеулер  жүйесін 
аламыз:  
 
ΔX
O
 + ΔX
A
 =  - ω
2  
m x
C 
- ε m y
C
, 
 
ΔY
O
 + ΔY
A
 =  - ω
2  
m y
C 
- ε m x
C
, 
 
                                            ΔZ
O
 = 0, 
 
ΔY
A 
·OA  = – ω
2 
J
yz
  +  εJ
zx
 , 
 
ΔX
A
 ·OA  =  - ω
2 
J
zx
  - εJ
yz
  
 
Мұндағы    ΔХ
А
,    ΔУ
А
,    ΔХ
О
,    ΔУ
О
    айырмалары  қосымша  динамикалық 
реакциялар деп аталады. 
 
 
 
10-шы  есеп.  Механикалық жүйе динамикасының есептерін  
шешу үшін  Даламбер принципін қолдану әдісі 
                                                                                        
Тұрақты      ω  =  10  с
-1   
бұрыштық  жылдамдықпен  айнала  қозғалатын    АВ  
тік  білек    А  нүктеде  ӛкшелікпен  бекітілген,  ал    В  нүктеде  цилиндрлік 

 
114 
мойынтірек  арқылы  бекітілген  (3.8(а,б,в,г)-сурет).  Біліктің    D    нүктесіне 
біртекті сынық ӛзек нық бекітілген (ерітіп жабыстырылған). Сынық ӛзектің ӛзі  
1  және  4  бӛлшектерден құралған (АB = 1 м; BD = 0,5 м). Ӛзектің бар массасы  
1  бӛлшекте жинақталған деп санаймыз, ал  4  бӛлшектің массасын ескермейміз,  
сонда  m
1
 = 8 кг,  m
4
 = 0. Сынық ӛзекке  массасы   m
2
 = 4 кг нүктелік масса нық 
бекітілген. Бұрыш шамасы  α = 60º; 1  ӛзектің ұзындығы  DE = 0,8 м;  4  ӛзектің 
ұзындығы  EK = 0,4 м. 
  Тірек  реакцияларын  анықтау  қажет,  яғни    А    ӛкшеліктің  реакциясын  
және  В  цилиндрлік мойынтіректің реакциясын. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8(а)-сурет 
 
 
 
 
 
 
1. 
1 
E 
3 
В 
А 
4 
α 
D 
2 
K 
2. 
1 
E 
3 
В 
А 
4 
α 
D 
2 
K 
3. 
E 
3 
В 
А 
4 
1 
α 
D 
2 
K 
4. 
α 
1 
4 
K 
3 
2 
В 
А 
E 
D 
5. 
2 
3 
В 
А 
E 
4 
1 
α 
D 
K 
6. 
4 
K 
3 
2 
В 
А 
E 
1 
α 
D 

 
115 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8(б)-сурет 
 
 
 
12. 
α 
D 
В 
А 
3 
E 
4 
1 
2 
K 
7. 
3 
2 
1 
α 
D 
К 
В 
А 
8. 
4 
K 
3 
В 
А 
E 
1 
α 
D 
2 
К 
3 
2 
1 
α 
D 
В 
А 
9. 
10. 
3 
2 
В 
А 
E 
4 
1 
α 
D 
K 
α 
D 
3 
В 
А 
E 
4 
1 
2 
K 
11. 
13. 
· 
α 
D 
В 
А 
3 
E 
4 
1 
2 
K 
· 
α 
D 
В 
А 
3 
E 
4 
1 
2 
K 
15. 
· 
E 
4 
1 
2 
K 
α 
D 
В 
А 
3 
14. 

 
116 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8(в)-сурет 
 
 
 
16. 
· 
E 
4 
1 
2 
K 
α 
D 
В 
А 
3 
α 
D 
3 
В 
А 
E 
4 
1 
2 
K 
17. 
18. 
K 
2 
α 
D 
В 
А 
3 
E 
4 
1 
20. 
K 
2 
α 
D 
В 
А 
3 
E 
4 
1 
19. 
K 
2 
α 
D 
В 
А 
3 
E 
4 
1 
21. 
K 
2 
α 
D 
В 
А 
3 
E 
4 
1 
22. 
· 
4 
K 
3 
2 
В 
А 
E 
1 
α 
D 
23. 
· 
4 
K 
3 
2 
В 
А 
E 
1 
α 
D 
24. 
· 
4 
K 
3 
В 
А 
E 
1 
α 
D 
2 

 
117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8(г)-сурет – 10-шы есептің схемалары.  
 
10-шы  есептің шығару үлгісі. 
 
Тұрақты   ω = 8 с
-1  
бұрыштық жылдамдықпен 
айнала қозғалатын  3  А
D = 
 
6ℓ
 тік білек  А  нүктеде 
ӛкшелікпен  бекітілген,  ал    В  нүктеде  цилиндрлік 
мойынтірек  арқылы  бекітілген  (3.9-сурет).  Біліктің  
D    нүктесіне  біртекті  сынық   
DEK 
  ӛзек  нық 
бекітілген  (ерітіп  жабыстырылған).  Сынық  ӛзектің 
ӛзі  1  және  4  бӛлшектерден құралған. Ӛзектің бар 
массасы  1  бӛлшекте жинақталған деп санаймыз, ал  
4  бӛлшектің массасын ескермейміз,  сонда  m
1
 = 10 
кг,  m
4
  =  0.  Сынық  ӛзекке  массасы    m
2
  =  2  кг 
нүктелік    2    масса  нық  бекітілген.  1    ӛзектің 
ұзындығы  DE = 
2ℓ
;  4  ӛзектің ұзындығы  EK = 
ℓ
. 
        3.9-сурет 
α 
D 
3 
В 
А 
E 
4 
1 
2 
K 
26. 
· 
3 
2 
В 
А 
E 
4 
1 
α 
D 
K 
25. 
· 
4 
K 
3 
В 
А 
E 
1 
α 
D 
2 
27. 
· 
3 
2 
В 
А 
E 
4 
1 
α 
D 
K 
28. 
· 
3 
2 
В 
А 
E 
4 
1 
α 
D 
K 
30. 
K 
2 
α 
D 
В 
А 
3 
1 
29. 
· 
3 
2 
В 
А 
E 
4 
1 
α 
D 
K 

 
118 
А    нүктедегі  ӛкшеліктің  реакциясын    және    В    нүктедегі  цилиндрлік 
мойынтіректің реакциясын анықтау қажет, егер берілгені:  
ℓ = 0,4 м,  DB = 2ℓ = 0,8 
м,  α = 45º.
 
 
Есеп  шешімі: 
 
1.  Білек  пен  оған  бекітілген  сыңық  ӛзекті  берілген  бұрышқа,  1    және    4  
ӛзектердің ӛлшемдеріне сәйкес етіп бейнелейміз 
2. Ізделіп отырған реакцияларды анықтау үшін сынық ӛзектің қозғалысын 
қарастырамыз  да,  оған  Даламбердің  принципін  қолданамыз.  Ӛзекті        Ауz  
жазықтықта  орналастырып,  білекпен  бірге  айнала  қозғалатын  Ахуz  
координаталық  ӛстерді ӛткіземіз де, оған әсер ететін күштерді кӛрсетеміз. Әсер 
ететін күштер:  DE  кескіннің ортасына түскен  G
1 
  ауырлық күші, 2  нүктелік  
массаның  ауырлық  күші,  А    ӛкшеліктің    X
A
,  Y
A
,  Z
A
    реакция      құрамдастары 
және В  мойынтіректің   X
B
,  Y
B
   реакция құрамдастары  (3.2.3 - сурет).  
Бұл күштерге  DEK ӛзек элементтерінің және нүктелік массаның инерция 
күштерін  қосамыз.  Ӛзектің  инерция  күштері,  оның    1  бӛлігінің  инерция 
күштеріне  ғана  тең  екені  айқын,  ӛйткені  ӛзектің    4    бӛлігінің  массасын  біз 
ескермедік.  Білек  бірқалыпты  айналу  қозғалыста  болғандықтан,  1    ӛзек 
элементтерінің  үдеулері,  айналу  ӛске  қарай  бағытталған,  тек  қана  a
k
n
  нормаль 
үдеулер болады. Олардың шамалары  
 
a
k
n
  = ω
2
·d 
k
,  
 
қайда  d 
k
 – элементтердің айналу оське қарай арақашықтығы. Сонда  1  ӛзектің  
Ф
k
  инерция күштері  айналу ӛске теріс бағытталады ал олардың шамасы 
   
 
Ф
k
  = ∆m
k
·a
k
n
  =  ∆m
k
·ω
2
·d
k
,  
 
қайда ∆m
k
  - элемент массасы. Барлық  Ф
k
  күштер  d
k 
 шамасына пропорционал 
болып  келгендіктен,  бұл  параллель  күштердің  эпюрі    1    бӛльшек  үшін 
үшбұрыш құрады.  
Алынған  параллель  инерция  күштер  жүйесін,  осы  күштердің  бас 
векторына  тең,  тең  әсер  етуші  күшімен  алмастырамыз.  Кез  келген  дененің  
инерция күштерінің бас вектор шамасы     Ф = mа
С
,  қайда   m – дене массасы,  
а
С
  –  дененің  масса  орталығының  үдеуі.    DEK    ӛзектің    1  бӛлшегінің  инерция 
күші   
Ф
1
= m
1
a
C
.                                                                                                    (3.13) 
 
2  нүктелік массаның  инерция  күші     
 
Ф
2
 = m
2
·a
2
.                                                                                                  (3.14) 
 
1  ӛзектің масса орталығының  үдеуі тек қана оның нормаль үдеуіне  тең, 
дәл солай, нүктелік массаның да үдеуі тек қана оның нормаль үдеуіне тең, яғни   
 
a
C
 = ω
2
 ·d
1
 ,  a
2
 = ω
2
 ·d
2
 ,                                                                             (3.15) 

 
119 
қайда  d
1
 – 1  ӛзектің масса орталығының айналу оське дейінгі арақашықтығы,  
d
2
 –  2  нүктелік массаның айналу оське дейінгі арақашықтығы:   
 
d
1
 = DE·sinα /2 = ℓ·sinα = 0,4·0,7 = 0,28 м, 
 
d
2
  =  KE  +  DE·sinα  =  ℓ  +  2ℓ·sinα  =  ℓ(1  +  2sinα)  =  0,4  (1  +  2·0,7)  =  0,96  м         
(3.16) 
 
(3.13)    және    (3.14)    формулаларға  саналып  шығарылған    (3.15)  ,  (3.16) 
шамалардың мағынасын қойып, сәйкес    Ф
1
  және  Ф
2 
  инерция күштерінің сан 
мағыналарын аламыз:   
 
  Ф
1
 = m
1
·ω
2
·d
1
 = 10·8
2 
·0,28 = 179,2 H, 
 
 
Ф
2
 = m
2
·ω
2
 ·d
2
 = 2·8
2
 ·0,96 ≈ 123 H.                                                          (3.17) 
 
Сонымен қатар, 1  ӛзектің инерция күштерінің тең әсер етуші  Ф
1 
 күшінің 
әсер ету түзуі инерция күштердің эпюра үшбұрышының ауырлық орталығынан 
ӛтеді    (3.10-сурет),  яғни,  инерция  күштерінің  эпюра  үшбұрышының      D  
тӛбесінен  2Н
1
 /3   арақашықтықта, қайда  Н
1
 = ED·cosα . 
 
   3.10-сурет 
ω 
d
2
 
Ф
2 
Ф
1
 
E 
a
C 
d
1 
C 
H
1
/ 
3 
H
1 
2H
1
/ 
3 
H
2 
y 
Z
A 
Y
A 
X
A 
Y
B 
X
B 
G
2 
a
2 
G
1 
K 
А 
α 
D 
3 
В 
z 
x 

 
120 
3.  Даламбер  принципі  бойынша,  механикалық  жүйеге  салынған  сыртқы 
күштер мен инерция күштері теңестірілген күштер жүйесін құрады. Бұл жазық 
күштер жүйесі үшін үш тепе-теңдік теңдеулерін  құрастырамыз:  
 
∑ F
ky
 = 0,    Y
A
 + Y
B
 – Ф
1
 – Ф
2
 = 0, 
∑ F
kz
 = 0,    Z
A
 – G
1
 – G
2
 = 0,                                                                      (3.18) 
∑ mom
A
( F
k
) = 0,    Ф
1
· (Н
2
 + Н
1
 /3) + Ф
2
· Н
2
 – У
В 
· АВ +  
 
+ G
1
· DE·sinα /2 + G
2
· (DE·sinα + EK) = 0.                                    
 
Ф
1
 и Ф
2
   инерция күштерінің  А  нүктеге қатысты иіндерін анықтаймыз:   
 
Н
2
 + Н
1
 /3 = AD - DE·cosα + DE·cosα /3 = 6ℓ - 4ℓ·cosα /3 = 
 
= ℓ· (6 -4·0,7 /3) ≈ 0,4·5 = 2 м,   
 
H
2
 = AD - DE·cosα = 6ℓ - 2ℓ·cosα  = 2,4 – 0,8·0,7 = 1,84 м. 
 
Сонда 
 
Н
1
 = 3 · (2 – Н
2
) = 3 · 0,16 = 4,8 м. 
 
 Алынған  санды  шамаларды  (3.2.6)  теңдеуге  қойып  алып,  бұл  теңдеулер 
жүйесін шығарамыз. Нәтижесінде ізделіп отырған реакцияларды табамыз:   
 
Z
A
 =  G
1
 + G
2
 = 12 H; 
 
Y
B
 = [Ф
1
· (Н
2
 + Н
1
 /3) + Ф
2
· Н
2
 + G
1
· DE·sinα /2 + G
2
· (DE·sinα + EK) ]/АВ 
=  
 
 = (Ф
1
· 2 + Ф
2
· 1,84  + G
1
·0,28 + G
2
· 0,96 ) / 2,4 = 245,6 H;  
 
Y
A
 = - Y
B
 + Ф
1
 + Ф
2
 = 56,6 H. 
 
Жауабы:  X
A
 =0;  Y
A
 = 56,6 H;  Z
A
 = 12 H;  X
B
 = 0;  Y
B
 = 245,6 H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
121 
 
ӘДЕБИЕТ 
 
1.    Яблонский А.А., Никифорова В.М.  Курс теоретической механики, часть 
1.- М.: Высшая школа, -1984. 
2.  Бать  М.Н.,  Джанелидзе  Г.Ю.,  Кельзон  А.С.  Теоретическая  механика  в 
примерах и задачах, часть 1.- М.: Наука, -1984. 
3.  Никитин Н.Н. Курс  теоретической  механики.- М.: Высшая школа,- 1990. 
4.  Тарг  С.М.  Краткий  курс  теоретической  механики.-  М.:  Высшая  школа,- 
1998. 
5.  Бутенин  Н.В.,  Лунц  Я.Л.,  Меркин  Д.Д. Курс  теоретической  механики.  Т. 
1,2.- Санкт-Петербург: Изд. «Лань», -1998. 
6.  Мещерский И.В. Сборник Задач по теоретической механике.- М.: Высшая 
школа, -1985. 
7.  Сборник  заданий  для  курсовых  работ  по  теоретической  механике.  Под 
ред. А.А.Яблонского.- М.: Высшая школа, -1985. 
8.  Сборник  задач  по  теоретической  механике.  Под  ред.  К.С.Колесникова.  – 
М.: Наука, -1983. 
9.  Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике, -М.: Наука, 
-1981. 
10. Жолдасбеков Ӛ.А., Сағитов М.Н., Мұстахишев К. Теориялық механика, I 
том. – Алматы: Мектеп, - 1982 
11. Жапаров Ж.Ж., Құлтасов К.А., Тәтенов А.М. Теориялық механика 
есептерін шешу. Алматы: Ана тілі, -1993 
12. Русско-казахский словарь. Под ред. Н.Т.Сауранбаева, Г.Г. Мусабаева, 
Ш.Ш. Сарыбаева. – Алматы: Дайк-Пресс, – 2005.