Бойынша дифференциалдайық

Градиент

• 
  (x, y, z)скаляр функция болсын, яғни функция тек
  

кеңістік нүктелерінің (x,y,z) мәніне тәуелді. Скаляр болғандықтан кез келген координаттар жүйесінде белгілі бір нүкте үшін нақты мәні өзгермеуі тиіс, яғни:

^(x₁^, x₂^ , x₃^ )  (x₁, x₂ , x₃ ).

x_i^ бойынша дифференциалдайық:
^(x₁^, x₂^ , x₃^ ) _ (x₁, x₂ , x₃ ) _



(1.51)

x_i^
_{   } x_j

x_i^

  a  _ a
_  _.
(1.52)

_j x ^'
x

j i


ij ij

j

x_j

(1.52) теңдеуін салыстырсақ (1.17) векторды түрлендіру



заңымен, онда

x _j

компоненттері болатын бір вектор аламыз.

Бұл векторды  градиенті деп атайды. Ыңғайлы болу үшін символдық түрде жазайық:

^   i^{ }  ^j ^  ^{ }
(1.53)

x y ^k z

немесе

x y z

(1.54)

Мұндағы ^ (набла) – векторлық дифференциалдық

оператор. Бұл оператордың векторлық қасиеттері бар және дербес дифференциалдау заңдарына бағынады.

f (r)  i ^f

x

• 
  _j f
  

y

• 
  k ^f ,
  

z

f (r) _ f (r) r _ df _ x _.

x r x dr r
Басқа компоненттері де осыған ұқсас табылады. Сонда,

f (r)  (ix  jy  kz)  ^{1 df}

_ r _ df

 r ^df ,

r dr r dr

⁰ dr

r  ^r

0 _r

• 
  радиус-вектор бағытымен бағыттас бірлік вектор. ^ 
  

ұзындық өсімшесін есептеуге қолданылады:

dr^  i^dx  ^jdy  ^
kdz

(1.55)

  

()dr  _x dx  _y dy  _z dz  d

, (1.56)

яғни  - скаляр функциясының өзгерісі dr^ -дің өзгеруіне (орын ауыстыруына) сәйкес келеді.

(x, y, z)  C бетінде P және Q нүктелерін қарас-

тырайық. Екі нүкте арақашықтығы dr болсын. Онда P

нүктесінен Q нүктесіне көшкенде (x, y, z)  C функциясының бетіндегі өзгерісі:

d  (^ )dr^  0
(1.57)

нөлге тең. Осыдан ()  dr . нүктесіне бағытталғандықтан,

dr^ -дің бағыты P нүктесінен Q

dr^ әрқашан сол бетте

орналасады. Демек ^ 

перпендикуляр.

  сonsбетіне кез келген нүктеде

12. 
    сурет
    

Енді

dr^

  c₁

бетінен

  c₂

бетіне бағытталсын

(12-сурет). Онда:
d  c₂  c₁  c  ()  dr.

(1.58)

Берілген d үшін

dr^ -дің абсолют шамасы минималды, егер

dr^  ^  (cos=1), керісінше, берілген dr^ үшін  скаляр

функциясының өзгерісі максималды. Егер,

dr^  ^ 

болса,

онда

^ 

векторы  скаляр функциясының ең жылдам өзгеру

бағытын көрсететін вектор.

Скаляр шаманың градиенті физикада күш өрісі мен потенциалды өріс арасындағы байланысты табуда үлкен рөл атқарады:

Күш= - ^ (потенциал). (1.59) Бұл гравитация және электр өрістері үшін орынды.

1. Дивергенция

Векторлық функцияларды дифференциалдау скалярлық функцияларды дифференциалдаудың жалпы түрі болып

табылады. Мысалы: r^(t) дененің кеңістіктегі t уақытағы орнын

анықтасын.

12. 
    сурет
    

^  ^  ^Vx

• 
  V_y
  
• 
  V_{z ,}
  

(1.60)

^V x y z

^ векторының дивергенциясы деп аталады. 1.3-бөліміндегі
V

анықтама бойынша, бұл скаляр шама. Мысалы:

 r  (i

^  j ^  k ^ )(ix  jy  kz)  ^x  ^y  ^z  3;

x y z x y z

^  r^f (r) 

^ (xf (r))  ^ ( yf (r))  ^ (zf (r))  3 f (r)  r ^f .

x y z r

Дербес жағдай

f (r)  r ^n1 болса, онда

^  r^r ^n1  ^  r^ r ⁿ  3r^n1  (n 1)r ^n1
0

олай болса n=-2 болғанда, онда осы шаманың дивергенциясы нөлге тең болады.

сұйықтың ағысының жылдамдығы,

(x, y, z)

– (x,y,z)

нүктесіндегі тығыздығы. Dxdydz – көлем элементін қарастырсақ (14-сурет), онда EFGH бетінен бірлік уақытта ағатын сұйық мөлшері:

(келген) _EFGH=v_xdydz, ал АВС D бетінен шығатын сұйық

мөлшері: (кеткен)

ABCD

= ^  v

_ x


 ^ (  v

x ^x

)dx^dydz . Туынды




тығыздықтың біртектілігін және жылдамдықтың х координатына тәуелділігін ескереді. Осы аралықта ағып өткен сұйық мөлшері екеуінің айырмасына тең, яғни х осі бойынша:

^ (  v )dxdydz . Қалған 4 беттен ағып өтетін сұйықтарды

x ^x

ескерсек, онда толық ағып өткен сұйық (уақыт бірлігінде):

^ 

^x

(  v_x ) 

^ (  v ) 

y ^y

^ ( 

z



v_z )_ dxdydz 

 

 (  v)dxdydz.

. (1.61)

12. 
    сурет
    

шығындылық деген атауы да осыдан.

^  ^  (  v^)  0

t

(1.62)

– үздіксіздік теңдеуі деп аталады.

  ( fv ) 

^ ( fv )  ^ ( fv ) 

^ ( fv ) 

x ^x y

y _z z

f _{ v}

x ^x

• 
  f
  

y

 v_y

• 
  f
  

z

 v_z  f

v_x

x

• 
  f ^vy  f
  

y

v_{z }

z
(1.63)

 _f _ v  f   v,

мұндағы f - скаляр, ал v^ - векторлық функция.

Дербес жағдай. Егер ^  ^  0 , онда ^ векторы

B B

соленоидты деп аталады.

2. Ротор

 v  i ^{ } v

 ^ v ^  j ^{ } v

 ^ v ^ 

^ y ^z z ^{y  } z ^x x ^{z }

_{ }  

(1.64)

• 
  k ^{ } v
  
  
  

x ^y

 ^

y ^{x }

• 
  v
  



 

табиғатын ескеру қажет. Арнайы ескертейік, диффренциалдық оператор. Жалпы жағдайда

v^  ^ - жаңа

v^  ^  ^  v^ .

Егер ^ векторды скаляр мен векторға векторлы көбейтсек,

онда



^ ^fv 

 i ^{ }

y


( fv_z ) 

^ ( fv

z ^y

)^ 

 

_ f

^v_y f ^

_y v_z  f

z ^ z ^{vy  }

(1.65)

 f  v



_x  _f _ v ;

y және z - компоненттері де осыған ұқсас. Сонда:
x


_ fv _  f  v  _f _ v.

(1.66)

(1.66) теңдеуі (1.63) теңдеуінің көшірмесі.

Мысалы:

 rf (r)  f (r) r  (f (r)) r

А)