Набла операторының тізбектеліп қолданылуы Векторлық анализдегі кейбір формулалар

Набла операторының тізбектеліп қолданылуы
Векторлық анализдегі кейбір формулалар

Жоғарыда келтірілген дифференциалдық операторларды бірінен соң бірін қолдануға болады. Қосарланған дифференциалдық операторларды есептеу кезінде «набла» операторын кәдімгі вектор деп есептеу керек, бірақ ол оператордың өзі әсер ететін функциядан кейін тұрмауын қадағалау керек. Жоғарыда

потенциалдық өрістің құйыны нөлге тең болатынын көрдік.

rot  gradU  , U  0
(2.40)

Осы әдіспен құйынды өрістің дивергенциясы нөлге тең болатынын дәлелдеуге болады.

div  rotA  , A 0

Дәлелдеу үшін төмендегі дербес туындыларды ашып жазу керек.
(2.41)

 ^ A_z

^Ay 

^  <sup>Ax

Az</sup> 

_  A_y

A_x ^

div  rotA 

^ 

x y

z ^{ }

y ^ z

^ x ^{ } z ^ x

 _y ^  0

  ^{ }  

Потенциалдық өрістің дивергенциясын есептейік.

div gradU  U   ²U  U
(2.42)

Бұл жердегі

  ^2

x²

 _2

y²

 _2

z²
– Лаплас операторы деп аталады.

  

²U

²U

²U

div  rotA 

_x grad_xU  _y grad _yU  _z grad_zU 

x<sup>2

</sup> y<sup>2

</sup> z²

Лаплас операторын тек скаляр функцияға ғана емес, векторлық функцияларға да қолдануға болады.

_{   } ²A _ ²A _ ²A

A x, y, z

x²

y²

z²

^{Бұл өрнектен вектор анықталады, және оның координат осьтеріндегі құраушылары ΔA}x^{, ΔA}y^{, ΔA}z ^{түріндегі} функциялар болады.

Қосарланған ротор операторының әсерін анықтайық. Төмендегі f(x,y,z) – скаляр, ал A(x,y,z) – вектор функциялар.

rot rotA  ,, A

Бұл өрнекті үш вектордың қос векторлық көбейтіндісі деп қарастырып, (1.26) «бац минус цаб» ережесін қолданайық.

,, A   A A  grad  divA  A

rot  rotA  grad  divA  A

Сол сияқты төмендегі формулаларды ашып жазу қиын емес.

div f  A   fA  f A Af   f divA  A grad f

divA, B A, B _A  A, B _B  A, B B_A , A A_B , B

(2.43)
(2.44)

Бұл жерде үш вектордың аралас көбейтіндісінің қасиеттері мен көбейтін-дінің туындысын есептеу ережесін пайдаландық. Сонда

rot fA  , fA  
f

, fA 

divA, B B  rotA  A  rotB

_A , fA  f , A f , A

(2.45)

rot fA  gradf , A f  rotA

Келесі φ және ψ функциялары үшін мынандай қатынастар жазуға болады:

grad         

Бұл формуланың екі жағына дивергенция операторын қолданайық.

          2grad  grad

(2.46)
(2.47)

(2.48)

1