Наибольший общий делитель (НОД), наименьшее общее кратное(НОК)

Общим делителем натуральных чисел а и в назыв. всякое натуральное число явл-мся делителем каждого из данных чисел. Наибольшее число из всех делителей чисел а и в называется наибольшим общим делителем данных чисел. Обозначается К (а,в)

Общим кратным натуральных чисел а и в называется число, которое кратно каждому из данных чисел. Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и в называется наименьшим общим кратным этих чисел. Обозначается К (а,в) ( напр. общее кратное чисел 5 и 7 явл. 35,70, 140. НОК 35)

Или

Наибольший общий делитель (обозначается НОД) – это наибольшее число из общих делителей. Например, НОД (24, 30,18) = 6.

Общее кратное нескольких чисел – это число, которое является кратным каждому из этих чисел. Например, для чисел 3 и 6 общими кратными являются 12, 24, 36 и т.д.

Наименьшее общее кратное (обозначается НОК) – это наименьшее из общих кратных. Наименьшее общее кратное чисел (НОК) – это такое минимальное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Например, НОК (3,6) = 6, НОК (24,30,18) = 360.

НОД и НОК можно найти, применяя разложение чисел на простые множители.

Для НОД нужно выписать все множители, которые входят в разложения данных чисел. Затем каждый такой множитель следует взять с наименьшим показателем, с которым он входит во все данные числа, после чего нужно произвести умножение.

Например,

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.

30 = 2 · 3 · 5

18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32

В нашем примере множители, которые входят в разложение каждого числа – это 2 и 3. Их минимальная степень – это единица.

Тогда НОД (24,30,18) = 2 · 3 = 6.

Если НОД (a, b) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми. Например, числа 15 и 8 являются взаимно простыми, хотя каждое из них – составное.

Для определения НОК нужно выписать все множители, которые встречаются хотя бы в одном из разложений данных чисел. Затем каждый такой множитель следует взять с наибольшим показателем, с которым он входит в одно из чисел, после чего нужно произвести умножение.

Например,

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.

30 = 2 · 3 · 5

18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32

В нашем примере множители, которые входят в разложение каждого числа – это 2, 3 и 5. Их максимальные степени – это соответственно 3,2 и 1.

Тогда НОК (24,30,18) = 23 · 32 · 5 = 360.