Делимость суммы, разости и произведения целых неотрицательных чисел

Любое составное число можно единственным образом представить виде произведения простых множителей.

Каждое натуральное число   представляется в виде   , где   суть простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Основная теорема арифметики/рамка Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число   единственным образом представимо в виде   , где   — простые числа, и   — некоторые натуральные числа.

Следствия теоремы

Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Доказательство

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида:

сли простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x·y, то p делит x или y. Основная теорема арифметики/рамка

Существование. Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n/p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.