Дәріс№2. Жиындардың декарттық көбейтіндісі және оның қасиеттері. Жиындар алгебрасының негізгі заңдары

х₁...х_n n элементтен тұратын реттелген тізбекті (x₁,x₂,…,x_n) немесе 1,x₂,…,x_n> деп белгілеуге болады. Мұндағы дөңгелек, бұрышты жақшалар элементтердің жазылу ретін көрсету үшін ғана қолданылады. Мұндай нөмірлерінің ретіне қарай орналасқан тізбек ұзындығы реттелген тізбек немесе ұзындығы n болатын кортеж деп аталады. -элемент 1,x₂,…,x_n> кортежінің і- координатасы деп аталады.

1> ⇋x₁, 1, x₂>⇌{{x₁},{x₁,x₂}}, 1,…,x_n>⇌< 1,x₂,…,x_n>, x_n+1 >
Анықтама. Екі кортеж ұзындықтары бірдей, әрі бірдей нөмірлі координаттары тең болса ғана тең болады. Яғни x=(x₁,x₂,…,x_n) , y=(y₁,y₂,…,y_n) кортеждері x₁=y₁; x₂=y₂,…x_n=y_n болғанда ғана тең болады
( x=y ). Мысалы (1², 2² , 3² ) және ( ) кортеждері тең. (1,2,3) және (3,1,2) әртүрлі ; (1,2,3) және (1,2,3,4) әртүрлі; (1,2)(2,1) ал {1,2} және {2,1} жиындары тең. Кортеждердің координаттары жиын, кортеж т. б. болуы мүмкін. Мысалы, ({a,b},c)=({b,a},c) себебі {a,b}={b,a}, ал ( (a,b ), c ) және ( (b,a), c ) кортеждері тең емес, себебі (a,b)(b,a). Бір де бір координаты жоқ кортеж (ұзындығы 0) бос кортеж деп аталады.
Сонымен жиын мен кортеж ұғымдарының айырмашылығы:
а) жиындардың элементтерінің орны, реті бәрі бір, ал кортеждерде элементтерінің ұзындығы бірдей болып элементтерінің реті басқаша болса тең емес (құрамы бірдей болса да);
б) жиында элементтер әртүрлі, кортежде бірдей бола береді.
Анықтама. А және В жиындарының тура( декарт) көбейтіндісі деп элементтері реттелген (х ,у) жұбынан тұратын жиынды айтамыз.Мұндағы, хА, ал уВ. Декарт көбейтіндісі әр түрлі жиын элементтерінен құралады, А  В болып белгіленеді: А  В = {(х ,у) | хА және уВ}.
жиындары үшін Декарт көбейтіндісі?
= = болады.
Егер A₁=A₂=…=A_n=A болса, онда A₁хA₂х,…,хA_n жиыны А жиынының n-ші Декарт дәрежесі деп аталады және Аⁿ болып белгіленеді. Анықтама бойынша A⁰⇌{}
Мысалдар:
1.A={1,2}, B={3,4} берілсін. AхB={ (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) };
BхA={ (3,1),(3,2),(4,1),(4,2) };
AхA={ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) }; Бұл мысалдардан AхBBхA.
2. (Шахмат тақтасы).
A={a,b,c,d,e,f,g,h}; B={1,2,3,4,5,6,7,8} жиындары берілсін. Олай болса әр (х,у) жұбына x,yAхB шахмат тақтасының торлар жиыны сәйкес келеді.
3. [0,1]² жиыны { (a,b) | 0  a 1, 0  b  1 } ;Бұл жиынға жазықтықтың 1-ден аспайтын теріс емес координаттары бар нүктелер жиыны сәйкес келеді.
4. A={a,b,c}; B={1,2}; AхB={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}; BхA={(1,a),(2,a),(1,b),(2,b),(1,c),(2,c)}; AхB  BхA
5. А={1,2,3}; АхА={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1 ), (3,2), (3,3) };
6. ; ; - жиындарының Декарт көбей-тіндісін табайық. Декарт көбейтіндісінің элементтері әр түрлі жиын элементтерінен алынған жұптардан тұратындығы белгілі.
Оларды кестеге орналастырайық: Бұл кестеде m жол, n бағаннан тұратын элементтер жұбын көреміз. - саны х-элементтерінің жиыны мен ү элементтерінің жиындарының көбейтіндісіне тең. (1)
Бұл жиындарды көбейту ережесі. Егер декарт көбейткіштері n жиыннан тұрса, онда (1) төмендегідей жалпылауға болады:

(2)A х B х C; (A х B) х C; A х (B х C) жиындары да әр түрлі. A х B х C- (a,b,c); (A х B) х C-
((a,b),c ) aA, bB, cC; A х (B х C)=(a, (b,c) ); Егер А,В жиындарының бірі бос болса, олардың Декарт көбейтіндісі де бос деп есептеледі. A х  =  х A =  х  = ;
Мысал, А={a₁,a₂,a₃}, B={b₁,b₂,b₃} ; ;
Декарт көбейтінді қарапайым амал емес, себебі
1) АВВА (неге?) – коммутативтік емес
2) (АВ)СА(ВС) – ассоциативтік емес, себебі
L=(AB)C={((a, b), c)/(a, b)AB, cC} – сол жағы
Оң жағы R=A(BC)={(a, (b, c))/aA, (b, c)BC}
Бірақ, декарт көбейтінді дистрибутивті:
А(ВС)=(AB)  (AC){, , }. Мысалы: А(ВС) =(АВ)(АС),
А(ВС)=(АВ) (АС)
2. Кардинал дәреже: А^В={f: BA}.
Негізгі қасиеті:
3. Жиындар алгебрасының негізгі заңдары:
АА…А=A, {, }:
a) A…A=A
A…=A идемпотентті (idempotent ion) заңы
б) AB=BA, {, , } – коммутативтік заң,
в) A(BC)=(AB)(AC), , {, , } () – дистрибутивтік заң.

жүктеу/скачать 43,52 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: