Дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные однородные дифференциальные уравнения с
жүктеу/скачать 0,66 Mb.
|
Лекции 6-7
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение. Фундаментальной системой решений
- Определение.
- Теорема.
Линейные однородные дифференциальные уравнения спроизвольными коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором. Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами: 1) 2) Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: 1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением. 2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением. Структура общего решения. Определение._Фундаментальной_системой_решений'>Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения. Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка , то этот определитель называется определителем Вронского. ( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик) Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю. Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала. Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю. Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений. , где Ci –постоянные коэффициенты. Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка. жүктеу/скачать 0,66 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|