Дифференциальные уравнения высших порядков
Нормальные системы линейных однородных дифференциальных
жүктеу/скачать 0,66 Mb.
|
Лекции 6-7
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение.
Нормальные системы линейных однородных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка. Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде: (2) Решения системы (2) обладают следующими свойствами: 1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы. 2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы. Решения системы ищутся в виде: Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем: Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.: В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2): Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2): Пример. Найти общее решение системы уравнений: Составим характеристическое уравнение: Решим систему уравнений: Для k1: Полагая (принимается любое значение), получаем: Для k2: П олагая (принимается любое значение), получаем: Общее решение системы: Этот пример может быть решен другим способом: Продифференцируем первое уравнение: Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения. Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения: Обозначив , получаем решение системы: Пример. Найти решение системы уравнений Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х). Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем: Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: . С учетом первого уравнения, получаем: Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение однородного уравнения: Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле Общее решение неоднородного уравнения: П одставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем: Пример. Найти решение системы уравнений: Составим характеристическое уравнение: k = -1. Если принять g = 1, то решения в этом случае получаем: k2 = -2. Если принять g = 1, то получаем: k3 = 3. Если принять g = 3, то получаем: О бщее решение имеет вид: жүктеу/скачать 0,66 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|