Диплом жұмыс Тақырыбы: Бүтін сандар жиынында теңдеулерді шешу. Орындаған: Нысанова Эльмира
жүктеу/скачать 2,18 Mb.
|
Дип.-Бүтін-сандар-жиынында-теңдеулерді-шешу
|
y0 2 = 2ab теңдігінен a = t 2, 2b = s 2, (11) екендігі шығады. Мұндағы t, s – кез – келген бүтін сандар. Бірақ, (10) қатынастан [x0, b, а ] (4) теңдеудің шешімдері екені шығады. Демек,  ,
мұндағы m және n – өзара жай жұп және тақ сандар. (11) теңдіктен мынаны аламыз:  ,
m және n – өзара жай болғандықтан, m = p 2, n = q 2, (12) мұндағы p және q нөлден өзге бүтін сандар, a = t 2 және  болғандықтан,
q 4 + p 4 = t 2 , (13) Бірақ,
 ,
сондықтан   (14)
Орындарына қойсақ, q = x1, p = y1, t = z1 және біз көріп тұрғандай [x0 , y0, z0] шешімдері бар болса, онда [x1 , y1, z1] басқа шешімдері де бар болуы керек, себебі 0 < z1 < z0. Сонымен (2) теңдеудің шешімдерін алу пороцесін шексіз жалғастыруға болады және біз келесі шешімдер тізбегін аламыз: [x0 , y0, z0], [x1 , y1, z1], ... , [xn , yn, zn], …, мұндағы бүтін оң z0, z1, z2, z3,…, zn,…, сандары монотонды кемиді, басқаша айтқанда, ол үшін мына теңсіздік орынды: z0 > z1 > z2 > z3 > … > zn … Бірақ бүтін оң сандар ақырсыз монотонды кемімелі тізбекті құра алмайды, сондай – ақ мұндай тізбекте z0 – ден артық мүшелері бола алмайды. Осыдан біз (2) теңдеудің x, y, z (xyz ≠ 0) бүтін сандар жиынында ең болмағанда бір шешімі бар деген ұйғарымға қарама – қайшы келіп отырамыз. Осымен (2) теңдеудің шшешімдері болмайтыны дәлелденді. Сәйкесінше (1) теңдеудің де оң бүтін [x , y, z] сандар жиынында шешімі жоқ, қарсы жағдайда [x , y, z] – (1) теңдеудің шешімі болса, онда [x , y, z 2 ] - (2) теғңдеудің шешімі болады. Осымен біз (2) теңдеудің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін ғана емес,
теңдеуінің де шешімі жоқ екенін дәлелдедік. Мысал. x 4 + y 4 = z 2 (15) теңдеуінің нөлден өзге x , y, z бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеу керек. Біз (15) теңдеудің бүтін оң сандар жиынында [x0 , y0, z0] шешімі болсын деп ұйғарайық. Осы сандарды бірден өзара жай деп айта аламыз, себебі ең үлкен ортақ бөлімі d > 1 болса, онда  сандары да (15) теңдеудің шешімдері болар еді. Сонымен қатар (15) теңдеудің бүтін сандар жиынындағы барлық мүмкін z шешімдері ішінен z0 – ең кішісі деп ұйғарайық. Сонда [x0 , y0, z0] – (15) теңдеуді шешімдері болғандықтан, [xжүктеу/скачать 2,18 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|