Әбдірахманова Жадыра 10 сынып Алтын қима

Кесіндіні алтын қима пропорциясымен бөлетін Е нүктесі жүргізіледі. В нүктесінен АВ кесіндісінің қақ ортасынан бөлінетін перпендикуляр жүргізіледі. Алынған С нүктесі А сызығымен қосылады. Алынған кесіндіден Д нүктесінен аяқталатын ВС кесіндісі кейінге қалады. АД кесіндісі тікелей АВ кесіндісіне теңгеріледі. Осыдан алынған Е нүктесі АВ кесіндісін алтын пропорция арақатынасында бөледі.

Дәл осы кесінділерді Евклид өзінің дұрыс бесбұрыш жасауында қолданылды.

Осыған байланысты жұлдызды бесбұрышта сонымен қатар «алтын қима» қолданылады. Бір қызықтысы бесбұрыштың ішінен бесбұрыш жасап жалғастырсаң, оның қатынастары сақтала береді.Сайып келгенде, жұлдызды бесбұрышта сонымен қатар «алтын қима» қолданылған.

Жұлдызды бесбұрыш пентаграмма деп аталады. Пифагорлықтар өздерінің талисмандары ретінде бесбұрышты жұлдызды таңдады. Ол денсаулықтың символы мен танымдылықтың белгісі ретінде қызмет еттді.

Қазіргі уақытта гипотеза бар, оның ең бірінші мағынасы пентаграмма, ал екінші мағынасы «алтын қима». Пентаграмманы ешкім ойлап тапқан жоқ, оны тек көшіріп алды. Бесбұрышты жұлдыздың жеміс ағаштарындағы гүлдердегі бес жапырақ , теңіз жұлдызы тәрізді түрлері бар. Және құбылыстарды табиғат жаратылымдарын адамдар қанша мың жыл бақылап келеді.

Сол себепті, объектілердің геометриялық бейнелеулері – пентаграмма – ертеректен белгілі. [6]

Екінші алтын қима

Мұндай пропорция сәулет өнерінде де табылды, сонымен қатар ол ұзартылғын горизантальдық формат бейнелеулерінің композицияларын құруда орын алады.

Бөлу келесі бейнемен жүзеге асады. АВ кесіндісі алтын қима пропорциясында бөлінеді. С нүктесінен СД перпендикуляры жүргізіледі. Радиус АВ-ның ортасында А нүктесіне түзу арқылы жүргізілген Д нүктесі орналасқан. АСД тікбұрышы қақ ортасынан бөлінеді. Е нүктесі АД кесіндісін 56:44 қатынаста бөледі.

Суретте екінші алтын қиманың құрылысы көрсетілген. Ол алтын қима кесіндісі мен тікбұрыштың орта сызығының ортасында орналасқан.

Сонымен кесіндіні орта және шеткі қатынастарда бөлу бір ғана тәсілмен емес, бірнеше тәсілмен бөлінетіндігі дәлелденді. [8]
Алтын пішіндер
Алтын тікбұрыш
Егер бір жағынан АВ=а квадратын салса АВ кесіндісінен М ортасын тауып және Е нүктесінде АВ жалғасымен кесіп өтуге дейін М нүктесінде ортасы МС радиусымен шеңбер доғасын өткізсе, онда В нүктесі АЕ кесіндісін орта және шеткі қатынастарда бөледі.

Көз жеткізу үшін, Пифагор теоремасына қараймыз

МС²= а²+(а/2)²= 5а²/4

АЕ=а/2+МЕ=(+1)а/2=АВ

АЕҒД тікбұрышы АЕ=АД жағынан алтын тікбұрыш деп аталады. АВСД тікбұрышы – квадрат. ВС=а=ВЕ қарасақ, ВЕҒД да алтын екенін көру қиын емес. Бұл жағдай ВЕҒС тік бұрышын онан ары бөлшектеуге болады деген ой келеді.

Тікбұрыштың қабырғалармен қатынасы, теңдігі, тікбұрыштардың қабырғалармен қатынасы, айтқанда, 2:1, 3:2, 5:7 көрінеді деп есептеуге бола ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін, арнайы эксперименттер жасалды. Нәтижелері әбден нанарлық, бірақ та кейбір деректер куәландырады. [1]

Алынған d және d₁ нүктелерін А нүктесімен түзу қосамыз. Dd₁ кесіндісінен Аd₁

Алтын бесбұрыш

А л т ы н б е с б ұ р ы ш.

Пентаграмманы құру үшін міндетті түрде дұрыс бесбұрыш құру қажет. Мейлі, О-шеңбердің ортасы, А-шеңберлердегі нүкте, ал Е-ОА кесіндісінің ортасы. ОА радиуысына перпендикуляр, О нүктесінде құрылған, Д нүктесінде шеңбермен қиылысады. Циркульді пайдаланып, диаметрде СЕ=ЕД кесіндісін қалдырамыз. Дұрыс бесбұрыштың айналасындағы ұзыныдығы ДС-ға тең. ДС айналасына кесінді салып түзу бесбұрыш сызу үшін бес нүкте аламыз. Диагонал арқылы бесбұрыштың бұрыштарын қосып пентаграмма аламыз. Бесбұрыштың барлық диагоналдары өзара кесінділерге бөлінеді, оларға өзара бір-бірімен алтын пропорциямен байланысқан бесбұрыштың жұлдыздың соңғы нүктесі алтын үшбұрыш құрайды.

Жоғары жағынан оның шеттерінің бұрышы 36⁰, ал бүйірінің негізі оның алтын кесіндінің пропорциясына бекиді. Алтын куб-бұл қабырғалары ұзындығы 1.618 және 0.618 болатын тікбұрышты параллелепипед.

Енді Евклид «Начало»-да ұсынған дәлелдемелерді қарастырайық.

Енді Евклидтің 72 градус бұрышты құру үшін алтын кесіндіні қоглдануын қарастырайық. Тура осындай бұрыш арқылы дұрыс бесбұрыш көрініп тұр. В нүктесімен орта және шеткі қатынас арқылы бөлінген АВЕ кесіндісінен бастаймыз. В және Е нүктелерінде ортасы арқылы дөңес айналасын жүргіземіз. С нүктесінде қиылысатын АВ градусы арқылы жүреді. Төменірікте АС=АЕ екендігін дәлелдейміз. Ал қазірге осы қағиданы ұстанамыз.

Сонымен. АС=СЕ болсын. α арқылы ЕВС және СЕВ тең бұрыштарын белгілейміз. АС=СЕ болғандықтан, АСЕ бұрышы α -ға тең. Үшбұрыштың бұрыштар саны 180⁰ тең. ВСЕ бұрышын табуға болады. Ол 180⁰ 2 α тең, ал бұрышы ЕАС-3 α -180 теоремасын дәлелдейік. Бірақ онда АВС бұрышы 180- α -ға тең. АВС үшбұрышының бұрыштар санын есептей отырып,

180=(3 α -180)+(3 α -180)+(180- α) аламыз.

Одан 5 α = 360, яғни α =72.

Сонымен, ВЕС үшбұрышының негізінде әрбір бұрыштар бұрыш төбесінде екі есе үлкен, ол 36⁰ тең. Сонымен, дұрыс бесбұрыш құру үшін, Е нүктесінде ортасы арқылы кез-келген шеңберді жүргізу керек, олар ЕС Х нүктесінде қиылысады және ЕВ жақтары У нүктесінде қиылысады. ХУ кесіндісі дұрыс бесбұрыштың шеңберіне жазылған. Шеңбердің барлық жағынан айнала отырып, барлық қалған жақтарын табуға болады.

Енді АС=АЕ екендігін дәлелдейік. С нүктесінің төбесі түзу кесінді арқылы ВЕ кесіндісінде N ортасымен қосылған. СВ=СЕ екендігін байқайық, онда СNЕ бұрышы тік.

Пифагор теоремасы бойынша

СN²=а²-(а/2φ)²=а2(1-4φ² )

Осыдан

(АС/а)²=(1+1/2 φ)²+(1-1/4 φ²) =2+1/ φ=1+φ= φ²

Архимед серіппесі

А р х и м е д с е р і п п е с і

Фибоначчи сандары

Алтын қимамен лақап аты Фибоначчимен белгілі Пизадағы итальян математигі Леонардонаның атымен байланысты.

1202 жылы оларға «Liber abacсi» атты кітап жазылған болатын, яғни «Книга об абаке». «Liber abacсi» өз алдында көлемді еңбек ұсынады, сол уақыттағы барлық арифметикалық және алгебралық мәлімдеулерді дерлік ұстанатын және бірнеше жүз жылда математиканың Батыс Еуропада дамуына үлкен рөл атқаруда. Сонымен қатар, бұл кітаптың арқасында еуропалықтар үндістік («арабтық») сандармен танысты.

Кітаптағы материал үлкен сандағы тапсырмаларды анықтайды. Осы трактаттың маңызыд бөлігін алады.

Мына бір тапсырманы қарастырайық:

«Бір жұптан бір жылда қанша қоян дүниеге келеді?

Бір кісі бір жұп қоянды барлық жағынан қоршалған жерге орналастырылған. Жылына қанша қоян туылытынын білу керек. Бір айдан соң қояндар жұбы басқа қояндарды дүниеге әкеледі. Туылған көжектер екі айдан соң қояндар өздері көжектер әкеледі. [4]

u₁, u₂ … u_n

u_n = u_n-₁+u_n-₂

Берілген реттілік асимптотикалық түрде үнемі қарым-қатынаста болады. Бірақ бұл қатынас ирроциональды, яғны шексіз сандар. Оны нақты жеткізу мүмкін емес.

Егер Фибоначчи жүйелілігінің мүшесін оның алдындағыға бөлсе (мысалы, 13:8), нәтижесі зор ирроционалды мағына 1.61803398875... және біреу арқылы басым түседі, бірақ оған жетпейді.

Жүйеліліктің асимптотикалық қылығы ирроционалды Ф саны түсініктірек болар еді, егер жүйеліліктің бірнеше алғашқы мүшелерін көрсетсе. Мына үлгідегі біріншіге екінші мүшенің, үшіншінің екінші мүшеге, төртіншінің үшіншіге қатынасы беріліп, тоғысып жатады.

1:1=1.0000 фиден төменірек 0.6180

2:1=2.0000 фиден жоғарырақ 0.3820

3:2=1.5000 фиден төменірек 0.1180

5:3=1.6667 фиден жоғарырақ 0.0486

8:5=1.6000 фиден төменірек 0.0180

Жылжу өлшемімен Фибоначчи жүйелігінде әрбір жаңа мүше келесіні үлкен және үлкен жақындауларымен Ф мүмкіндігіне бөледі. [7]

Адам құдайшыл пропорцияны саналы түде іздейді, ол оның комфортты қажеттілігін өлшейді.

Фибоначчи жүйелілігінің мүшесін болу кезінде, кері 1.618 үлкендігі пайда болады. Бірақ бұл да ерекше және ғажап құбылыс. Бастапқы

арақатынас – шексіз бөлшек, бұл қатынаста шек болмауы тиіс.

Әрбір санды келесіге бөлерде 0.382 санын аламыз.

1:0.382=2.618

Осындай тәсілмен арақатынастарды ала отырып, Фибоначчи коэффициентінің негізін аламыз: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Сонымен қатар 0.5 екенін ескереміз. Олар табиғатта және техникалық сараптамада ерекше роль ойнайды.

Алтын қима біз көргендей дұрыс бесбұрышпен байланыста пайда болады, сондықтан Фибоначчи сандары барлық жағынан роль ойнайды. Дұрыс бесбұрыштардың – бесбұрыштар мен дөңестерге қатысы бар.

Фиббоначи қатары математикалық казус болып қана қалар еді, егер де алтын қима зерттеушілері өсімдік, жануарлар әлемінде, өнерде қоспағанда, арифметикалық тұжырымға сай болуы керек. Ғалымдар Фибоначчи саны мен алтын қима теориясын белсенді түрде дамытты. Ю. Матиясевич Фибоначчи сандарын қолданып Гильберттің 10 мәселесін шешті. Бірнеше кибернетикалық тапсырмаларды Фибоначчи сандарын, алтын қиманы қолдана отырып бірнеше тәсілдермен шешті. АҚШ-та Фибоначчидің математикалық ассоциациясы құрылған, ол 1963 жылдан бері арнайы журнал шығарады.

Осы саладағы үлкен жетістіктердің бірі Фибоначчи сандары мен алтын қиманың талдау қорытындылары. Фибоначчи қатары (1,1,2,3,5,8) және «еікілік» сандардың қатары 1,2,4,8,16... қатарының ашылуы. Бірақ олардың құрылыс алгоритмі бір-біріне өте ұқсас: бірінші жағдайда әрбір сан алдыңғы санның суммасы, яғни 2=1+1;4 = 2+2..., екіншіде-бұл алдыңғы екі сан 2=1+1,3=2+1,5=3+2... «Екілік» қатар, Фибоначчи қатары шығатын жалпы математикалық формуланы табуға бола ма?

Шынында, S сандық параметрін алайық, ол кез-келген: 0,1,2,3,4,5... S+1 олардың алғашқы сандар – олар жалғыз, ал олардың әрқайсысы алғашқы екі санның суммасына тең. Егер осы қатардың n санын, S(n) арқылы белгілесек, онда S(n)= S(n-1)+ S(n- S-1) аламыз. Әрине, S=0 болса, осы формуладан «екілік» қатар аламыз, S=1 болса Фибоначчи қатары S=2,3,4 тең, сандардың жаңа қатары Фибоначчи сандары S атауына ие болады. Жалпы түрде алтын S пропрциясы теңдіктің түбірі S қимасы х ^S+1-х ^S-1=0

S=0 болса кесінді бөлімі тең болады, ал S=1 болса, бізге таныс калассикалық алтын қима болады. Фибоначчи сандарының S көршілестері математикалық абсолютті дәлдікпен алтын S пропорциясымен сәйкес келеді. Яғни, S қималары Фибоначчи сандары S инварианттары болып табылады. [7]

Алтын қима кескіндемеде.

Леонардо да Винчи ұлы суретші екеніне ешбір күмән жоқ, бұны оның замандастары да мақұлдады, бірақ оның жеке өмірі және қызметі бізге құпия болып қалмақ. Ол өзінің ұрпақтарына өз ойлары байланыспайтын баяндама қалдырды, ол барлық әлемде айтылған тек қана көп санды қолжазба нобайларын қалдырды.

Мона Лизаның портреті көптеген жылдар бойы зерттеушілердің назарын аударуда, суреттің композициясы алтын үшбұрыштарға негізделген, жұлдызды бесбұрыштың дұрыс бөліктері болған.

Сонымен қатар алтын қима пропорциясы Шишкиннің картиналарынан көруге болады. И.И.Шишкиннің бұл өте атақты картинасында алтын қиманың көріністері айқын көрінеді.

Рафаэльдің «Избиение младенцев» атты картинасында алтын қиманың басқа элементі – алтын серіппе көрінеді. [5]

Қорытынды

Айта кететін болсақ, алтын қима біздің өмірімізде өте үлкен қолданыста болады.

Адамның денесі алтын қима пропорциясында белдік сызықпен бөлінетіні дәлелденген.

Алтын қиманың арқасында Марс пен Юпитердің арасындағы астеоридтердің белі ашылған – пропорцияда ол жерде бір планета орналасу делінген.[2]

Нүктеде ішек қыздыруы, оны бөлетін алтын бөлулер, ішек тербеулерін шақырмайды, яғни бұл өтем нүктесі.

Ұшатын аппараттарда энергияның электромагниттік қайнарларымен тік бұрышты алтын қима пропорциясымен жасалады.

Джоконда алтын үшбұрыштарда салынған, алтын серіппе Рафаэльдің «Избиение младенцев» атты картинасында кездеседі.

Пропорция Сандро Боттичеллидің ««Рождение Венеры» атты картинасында табылған.

Алтын қима пропорциясымен жасалғандар, соның ішінде Пантеон мен Парфенон Афинада, Баженава мен Малевича сәулет ғимараттары сәулет өнерінің көптеген ескерткіштерінен белгілі. [5]

Осыдан бес ғасыр бұрын жасалған Иоган Кеплер былай деген: «Геометрия екі ұлы қазынаға ие. Оның бірі – Пифагор теоремасы, екіншісі – кесіндіні шеткі және орта қатынаста бөлу.» Осыдан біз алтын қима пропорциясын Пифагор теоремасынан кейінгі ең ұлы қазына деп білеміз.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. 
   Геометрия және өнер. – М.: Мир, 1979. Д. Пидоу.
   
2. 
   «Ғылым және техника» журнал.
   
3. 
   «Квант» журналы, №8, 1973
   
4. 
   «Математика в школе» журнал, №2,3, 1994
   
5. 
   «Алтын қима кескіндемеде» - 1989. В.Ф.Ковалев.
   
6. 
   Алтын пропорция коды.- А.Стахов.
   
7. 
   «Фибоначи сандары» – М: Наука, 1964. Н.Н.Воробьев
   
8. 
   Интернеттен хабар.
   

Алтын қима туралы мағлұматпен толық танысып, оның қазіргі кездегі қолданысын, қыр-сырын зерттеп, ғылым негізінің бір жолын ашу мақсатына арналған ғылыми жұмысқа берілді.

Жұмыс авторы 10 сынып оқушысы Әбдірахманова Жадыра

«Алтын қима» тақырыбын зерттей отырып, негізгі теориясымен танысу және зерттеу жұмысын корректі түрде құрастыра білу, зерттеулердің нәтижелерін геометриялық тұрғыдан баға беру.

Жұмыстың өзектілігі:

Зерттеліп отырған жұмыс білім алуды жалғастыруға, қажетті нақты математикалық білімді меңгеруге, интеллектіні дамытуға, математикалық іс-әрекетке тән және қоғамда толлыққанды қызмет етуге, қажетті зерттеу сапасын қалыптастыруға мүмкіндік береді.

Ғылыми-әдістемелік деңгейі:

Қазіргі өмірге әлеуметтік жағдайдың барлық салаларын жан-жақты зерттеу нәтижесінде жасөспірім ұрпақтың жан-дүниесін сол негізде тәрбиелеп, оның бойындағы оянбай жатқан қасиеттерді жандандыру - өмір талабы.

Зерттеудің жаңалығы:

Өскелең ұрпақтың біліктілігін қалыптастыруға бағытталған жаңа зерттеулердің негізінде білімді жетілдіру талаптарын күрделендіруге негізделген

Маңыздылығы:

Білім алуды жалғастыруға қажетті математикалық білімді меңгертеді; интеллектіні дамытады; математикалық іс-әрекетке тән және қоғамда толлыққанды қызмет етуге қажетті ойлау сапасын қалыптастырады.

Ұсыныс:

Жоба математикадан алған білімдерін зерттеу жұмыстарына пайдалану үшін, «Алтын қиманың» қазіргі кездегі қолданысын және музыка сәулет өнері, кескіндемедегі қолданысын зерттеу үшін беріледі.

математика пәнінің мұғалімі А.У.Утарова