Әл-фарабидың математикасы

Геометриялық сызбалардың бастауы тым ежелден бар. Геометриялық сызбалар орта ғасырлардығы шығыс ғалымдарының еңбектерінде көп кездеседі.

Толығымен геометрялық сызбаларға арналған әл-Фарабидің бұл еңбегі жер өңдеуде, архитектурада, техникада және геодезияда өте маңызды, ол кіріспеден және он кітаптан (мақалат) тұрады: аты айтып тұрғандай « Жан дүниесінің тамаша тәсілдері » («духовные искусные приемы»), бұл геометриядағы әр түрлі практикалық жұмыстарға және басқа ғылымдарға арналған.

Бірінші кітапта циркуль мен сызғыштың көмегімен тұрғызылатын қарапайым сызбалар қарастырылған. Мұнда парабола тұрғызудың екі шаблоны, шар мен кубтың екі еселенуі есебінің механикалық шешімі, сонымен қатар құралдың (вставка) көмегімен бұрыштың трисекциясын табу көрсетіліп, келтірілген.

Әл-Фараби бұрыш трисекциясының екі әдісін береді. Архимедтің тәсіліне тым жақын бірінші әдісінде әл-Фараби былай жасайды: ےАВС-ны тең үшке бөлу үшін, егер бұрыш тік болса, онда ВС түзуіне циркульдің көмегімен тең қабырғалы (дұрыс) ΔDBC-ны тұрғызамыз. Олай болса ےАВD ےАВС-ның 1/3 бөлігі болып табылады. Енді циркульдің көмегімен ےDВС-ны кесінде DC-ны қаққа бөлу арқылы тең екі бөліке бөлеміз.

Дәлелдеуі: Бұрыш тік болғанда, ΔСDВ дұрыс үшбұрыш. Сонда ےАВD ےАВС-ның 1/3 бөлігі болып табылады. ےDВС-ны қаққа бөлу арқылы ےАВС-ның трисекциясын табамыз.

2-тәсіл. (2-сурет)

Егер бұрыш тік бұрыштан кем болса, онда В нүктесін центрі етіп алып шеңбер сызамыз. ےАВС-ның трисекциясын табу үшін СВ кесіндісін әрі қарай шеңбермен қиылысқанға дейін созамыз (қиылысқан жерін Е деп белгілейміз). Одан кейін СЕ кесіндісіне DВ биіктігін түсіреміз. А нүктесіне сызғышты орналастырып, шеңбер бойымен жылжытқанда DВ перпендикуляры мен НF (DВ перпендикуляры мен DВ доғасындағы кесінді) кесіндісі тең болғанша дейін жылжытамыз, және де сызғышты А нүктесінен қозғалтпауымыз керек. Одан кейін ЕF доғасына тең болатын ЕК₁ доғасын саламыз. К₁В кесіндісін сызып әрі қарай L₁ нүктесіне дейін созамыз. Онда ےСВL ےАВС-ның 1/3 бөлігі. Одан кейін ےАВL₁-ды қаққа бөлеміз.

Дәлелдеуі: екінші жағдайдың дұрыстығын көрсету үшін НF-ті ВЕ – мен қиылысқанға дейін созамыз. ВF кесіндісін жүргіземіз, және де FМ ВЕ-ге параллель. Осыдан НF=FК=ВD, сондықтан ےАВС= ےВАF+ےAKB=ےAFB+ےFBE=2ےFBE+ےFBE=3ےFBE.

3-тәсіл. (3-сурет)

Әл-Фарабидің бұрыш трисекциясын табатын үшінші тәсілі бар: ےАВС сүйір бұрышын аламыз. Егер оны бірдей үш бөлікке бөлгіміз келсе, А нүктесінен АН перпендикулярын түсіреміз (ВС сәлесіне) және А нүктесінен ВС-ға параллель АD-ны созамыз. АD және АН сызықтарының қосындысы АВ сызығының екі есесі болғанша, В нүктесіне сызғышты қойып, сызғышты алмай сызамыз. Бұл дегеніміз DЕВ сызығындағы DЕ кесіндісі АВ кесіндісінің екі еселенуі. Онда ےDВС ےАВС-ның 1/3 бөлігі.