Прогнозирование при линейной тенденции

57 
Коэффициенты прямой 
а
и 
b
могут быть вычислены из статистиче-
ских данных за определенный период времени:
=
∑
− ∑
∑
∑
− ∑
; 
 
=
∑
− ∑
, 
где 
– определенный промежуток времени от
 t
= 0; 
n – полное число периодов; 
– значение временного ряда в период времени 
t
. 
Рассмотрим пример прогнозирования объекта, параметры временно-
го ряда которого (например, уровня продаж калькуляторов) приведены в 
табл. 3.2. 
Таблица 3.2 
Временной ряд объекта прогнозирования 
Время 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
Итого 
П
р
о
гн
о
зи
р
уе
м
ы
й 
па
р
ам
ет
р
700 
724 
720 
728 
740 
742 
758 
750 
770 
775 
7407 
,
700 1448 2160 2916 3700 4452 5300 6000 6930 7750 41358 
Следует определить прогнозируемый параметр в моменты времени
и 
. 
Из таблицы: для n = 10 
∑
= 55; ∑
= 385.
=
10 ∙ 41385 − 55 ∙ 7407
10 ∙ 385 − 55 ∙ 55
= 7,51; =
7407 − 7,51 ∙ 51
10
= 699,4.
Линейное уравнение тенденции y = 699 + 7,5

t. 
Для следующих двух периодов:
= 699 + 7,51 ∙ 11 = 782;
= 699 + 7,51 ∙ 12 = 789.
Экстраполяция с использованием полиномов 
 
Метод заключается в приближенном описании экспериментальной 
функции 
f
(
t
) каким-либо полиномом. В тех случаях, когда сглаженная
кривая монотонна с возрастанием или убыванием во времени (без экстре-
Электронный
архив
УГЛТУ

58 
мальных точек) и имеет явно выраженный нелинейный характер, чаще все-
го используется степенной полином
( ) =
+
+
+ ⋯ +
. (3.4) 
Задача формулируется следующим образом: для функции 
f
(
t
) найти 
полином 
y
(
t
) возможно низшей степени 
m
, принимающий в заданных точ-
ках 
i
= (1, 2, ..., 
n
) те же значения, что и функция 
f
(
t
) (рис. 3.2). 
Рис. 3.2. К определению коэффициентов степенного полинома 
Коэффициенты полинома находятся из системы уравнений:
+
+ ⋯
=
;
+
+ ⋯
=
;
(3.5) 
+
+ ⋯
=
.
Если 
n
> 
m
, то число узлов интерполирования принимают равным 
числу членов ряда (
m
= 
n
). В этом случае алгебраическая система уравне-
ний (3.5) имеет единственное решение. После найденных коэффициентов 
полинома интерполяционный полином используется для экстраполяции.
В этом случае в него подставляется значение горизонта прогнозирования 
за пределами функции 
f
(
t
). 
Следует отметить, что математические зависимости 1, 2, 3, приве-
денные в табл. 3.1, являются частным случаем степенного полинома соот-
ветственно при двух, трех и четырех членах полинома. 
Полином (3.4) используется, в частности, для описания развития 
многих видов износа (параметров технического состояния составных
частей машин и оборудования, представленных обычно зависимостью,
показанной на рис. 3.3). Параметр износа 
у
имеет четыре стадии: период 
приработки (0-1); установившейся работы (1-2); возникновения и развития 
дефекта (2-3); аварийного разрушения (3-4).
Электронный
архив
УГЛТУ

59 
Износ в стадии 1-2 описывается линейной зависимостью, а в стадии 
2-4 – степенным полиномом (3.4) или экспоненциальной зависимостью 5, 
приведенной в табл. 3.2. Эта зависимость вытекает из следующих сообра-
жений.
Скорость развития многих дефектов, например трещин, усталост-
ного выкрашивания, зависит от величины дефекта:
=
,
(3.6) 
где 
y
– величина цикла;
k
и 
n
– экстраполяционные параметры
На рис 3.3 обозначено: 
пр
– время приработки, 
ур
– время накопления 
рассеянных повреждений, 
– время аварийного развития повреждения,
пр
– предельное состояние повреждений. 
Рис. 3.3. Характеристика износа 
Интегрирование дифференциального уравнения (3.6) дает экспонен-
циальное увеличение параметров дефекта
=
, где 
− параметр де-
фекта при последнем его измерении перед прогнозированием.
В случае прогнозирования периодических процессов используются 
тригонометрические полиномы вида: 
 
0
1
2
2
( cos
sin
),
2
m
i
i
i
a
f t
a
it
b
it
T
T







(3.7) 
где 
Т
− период изменения функции. 
Коэффициенты и определяют по формулам:
=
2
∙ sin
2
;
=
2
∙ cos
2
,
где 
N 
−
число интервалов в диапазоне времени, в котором измеряется па-
раметр прогнозирования; 
− значение функции при времени . 
Используется также зависимость 12 (табл. 3.1). 
Электронный
архив
УГЛТУ

60 

жүктеу/скачать 6,77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: