Н. В. Куцубина системный анализ при принятии решений
Экстраполяция с применением S-образных функций
жүктеу/скачать 6,77 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Экстраполяция с применением S-образных функций
| Экстраполяция с применением S-образных функций
К S-образным относятся логистические кривые биолога и демографа Раймонда Перла (1870 - 1940 гг.) и математика Бенджамина Гомперца (1799 - 1865 гг.). Характерными особенностями логистических кривых является то, что они имеют точку перегиба, не содержат экстремальных точек и при бесконечном увеличении времени t асимптотически приближа- ются к некоторому предельному значению (рис. 3.4), где обозначено: а – k – участок ускоренного увеличения параметра у ; k – b – то же замедленного развития; k – точка перегиба; – максимальная величина прогнозируе- мого параметра при бесконечном увеличении времени t . а б Рис 3.4. Форма логистической кривой (а) и её производной (б) При дифференцировании логистической кривой по времени получим график скорости изменения (увеличения) прогнозируемого параметра, напоминающий по форме амплитудно-частотную характеристику одно- массовой колебательной системы. Логистические кривые могут быть кососимметричными относитель- но точки перегиба и асимметричными относительно неё. Кривая Перла симметрична относительно точки перегиба и имеет вид = /(1 + ) (см. зависимость 7 в табл. 3.1), где к, b, с – постоян- ные коэффициенты, определяемые экспериментально. Кривая Гомперца асимметрична относительно точки перегиба и име- ет вид = или = , где k и b – постоянные коэффициенты (см. зависимость 10 в табл. 3.1). Логистические кривые Перла и Гомперца нашли широкое примене- ние в биологии для описания развития популяции видов. Закономерности, описываемые подобными кривыми, наблюдаются и в технике. Рассмотрим применение логистических кривых на примере прогнозирования парамет- ров машины одного поколения. Такие кривые имеют несколько характер- ных участков (рис. 3.5). Электронный архив УГЛТУ 61 Рис. 3.5. S-образная кривая роста параметра одного поколения машин Время "жизни" одного поколения машин ж.п = − . В период − появляются первые модели машин нового поколения, хотя преоб- ладают машины старого поколения. Этот период, характеризующийся кри- вой а − b , называется латентным. Кривая b − d , соответствующая периоду времени − бурного развития машин нового поколения, − это период роста. Но период роста не может быть бесконечным, возникает ограниче- ние: − это максимальное значение параметра, которого можно достичь путем технического совершенствования машин данного поколения. Отрезок − соответствует спаду темпов роста параметров машины. Необходима замена данного типа машин машинами нового поколения. Точка перегиба k характеризует начальный момент замедления роста параметра машины. В ряде задач прогнозирования используются квадратические логи- стические зависимости 11 (см. табл. 3.1). В рамках времени развития машин одного поколения появляются машины следующих поколений с более высокими начальными параметра- ми, которые возрастают также по логистической кривой. Затем зарожда- ются и развиваются машины следующих поколений. Огибание кривых развития машин различных поколений также имеет характер логистиче- ской кривой. S-образные (логистические) кривые, отражающие развитие параметров машин и других объектов прогнозирования, подтверждают все законы диалектики. В начальный, латентный, период развития постепенное количествен- ное накопление факторов, способствующих развитию, приводит к каче- ственному быстрому развитию (переход количественных изменений в коренные качественные). Со временем возникают и увеличиваются у 2 max у 1 max Электронный архив УГЛТУ 62 отрицательные факторы, препятствующие развитию. В точке перегиба действие положительных и отрицательных факторов уравнивается. После точки перегиба отрицательные факторы преобладают, и раз- витие замедляется − действует закон единства и борьбы противоположно- стей. В машинах следующего поколения повторяются процессы предыду- щего поколения, но на более высоком уровне (закон отрицания отрица- ния). В настоящее время для прогнозирования параметров машин приме- няется несколько отличающаяся от кривых Перла и Гомперца S-образная кривая, получаемая из нелинейной модели прогнозирования. Предполага- ется, что темпы увеличения параметра машины нелинейно зависят от этого параметра в рассматриваемый момент времени. Такая функция обеспечи- вается нелинейным дифференциальным уравнением вида = ( ) . Функцию f(у) удобно представить степенным полиномом: = + + ⋯ + . Решение нелинейного дифференциального уравнения приводит к следующей формуле для прогнозирования развития машин: = ( ) . (3.8) В табл. 3.3 приведены примеры прогнозирования параметров машин, определенные по формуле (3.8). Коэффициенты λ, a, b, β определены в ре- зультате обработки экспериментальных данных. Таблица 3.3 Параметры прогнозирования машин Наименова- ние машины Наимено- вание парамет- ров Поко- ление- маши- ны Начало отсче- та, год Коэффициенты λ a b β Бумагодела- тельные ма- шины Ширина, м Произво- дитель- ность, м / мин Все 1 2 3 1860 1870 1900 1961 11300 5200 12000 0,095 0,074 0,038 0,061 2,4 1,81 3,04 1,05 0,023 0,049 0,053 0,046 Картонодела- тельные машины Произво- дитель- ность, м /мин 1 2 3 1850 1900 1950 55 750 2500 0,098 0,042 0,018 1,30 2,56 1,35 0,035 0,047 0,053 Электронный архив УГЛТУ 63 Окончание табл. 3.3 Наименова- ние машины Наимено- вание парамет- ров Поко- ление- маши- ны Начало отсче- та, год Коэффициенты λ a b β Котел для варки цел- люлозы сульфитным способом Емкость, м 3 Произво- дитель- ность, т/сутки 1900 1900 340 72 0,081 0,037 0,83 1,29 0,036 0,038 Котел периодиче- ского дей- ствия для варки суль- фатной цел- люлозы Произво- дитель- ность, т/сутки 1900 135 0,078 4,23 0,046 Котлы для непрерыв- ной варки целлюлозы Произво- дитель- ность, т/ сутки 1950 2100 0,074 3,72 0,085 Пресспаты Удельная произво- дитель- ность, т/шт. (на 1 метр ширины) 1900 71 0,102 3,31 0,042 Закон диалектики – переход количественных изменений в каче- ственные обуславливает чередование в процессах развития машин эволю- ционных и революционных этапов со скачкообразным переходом с одного поколения машин на другое. Для объединения частных тенденций, касаю- щихся одного поколения машин, в единую общую тенденцию развития со- вокупности конкретных машин с единым функциональным назначением используют идею огибающих кривых. Например, построив кривые роста параметров машин 1-го, 2-го, 3-го и 4-го поколений и проведя огибающую, можем прогнозировать развитие еще несуществующего, 5-го поколения. Причем огибающая также имеет вид S-образной функции (рис. 3.6). Электронный архив УГЛТУ 64 Рис. 3.6. Развитие транспортной среды (экстраполяция тенденции) жүктеу/скачать 6,77 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|