Оқулық Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі баспаға ұсынған

97
4
M
O
B
A
K  С
P
3
30°
5
7 – Геометрия, 8­сынып
4-есеп.
 
P
 = 50  Н  жүк  ауытқитын  жазық­
тықта  жатыр.  Егер  жазықтықтың  ауытқу  бұ­
рышы көкжиекке сәйкес 30º­қа тең болса, сы­
рғанау күші мен қысым күшін табыңдар.
Берілгені:  
P
 = 50 N, 
 
∠
A
 = 30°.
Табу керек: 
  
F
ауыт
, 
F
қысым.
Шешуі.
 1)   күшті екіге бөліп: сырғанау 
күші  бағытына  параллель  және  қысым  күші 
ауытқу  жазықтығына  перпендикуляр  күш 
етіп жазамыз.
2) Параллелограмм жасаймыз:  
 вектор – оның диагоналі; 
OM 
|| 
AB
, 
OK 
^
 
AB
, 
PK
|| 
AB
, 
PM 
^
 
AB
, 
OM
F
=
ауытқу
, 
OK
F
=
қысым
­ды  өткіземіз  (3­су­
рет).  3) 
∠
OPM
 = 
∠
A 
= 30° (
OP 
^
 
AC
, 
PM 
^
 
AB
).
4) Тікбұрышты 
ОРМ
 үшбұрышынан:
 OM
 = 0,5
OP
 = 0,5 · 50 = 25; 
F
ауыт.
 = 25 N. 
5)
 
Тікбұрышты  ОРК үшбұрышынан Пифагор теоремасына орай:
2
2
2
2
2
2
2
50
25
25 (4 1)
25 3
43,
OK
OP
PK
OP
OM
=
−
=
−
=
−
=
⋅
−
=
≈
 
     яғни 
F
қысым 
≈ 43 N.                     
 
Жауабы:
 
 
F
ауытқу
 = 25 N, 
F
қысым
 ≈ 43 N.
5-есеп.
  Тәжірибелер  көрсетіп  отырғанындай,  егер 
А
  денеге   
а
    және  
б
  күштер әсер етіп жатқан болса, онда олардың әсері  жалғыз 
с
  күштің 
әсеріне ғана тең болады. Бұл 
 с
  күш  
а
  және  
б 
 кесінділерінен жасалған 
парал лелограмның  диагоналімен  кескінделеді.  Теңдей  әсер  ететін  күш 
“
параллелограмм ережесі
” бойынша табылады. 
Мәселен, жүзіп келе жатқан кемеде (4­сурет) болған яки өзенде қа йық­
пен жүзіп бара жатқан адамға көлденең қима және ағын бойымен ба ғыт ­
талған екі күш әсер етеді. Сол күштерді суретте кескіндеңдер. Бұл есеп ке 
ұқсас басқа есептер құрастырып, сәйкесінше суреттерде бейне леңдер.
2. Жүйенің ауырлық орталығының координаталарын табу.
6-есеп.  Кесіндіні  берілген  қатынас  бо йын ша  бөлу  (координата 
көрінісінде). 
Егер 
AC
CB
= λ
  болса, 
C
  нүкте 
AB
  ке сіндіні  λ  қатынасында  бөледі 
(6­сурет). Егер кесінді соңының координаталары 
A
(
x
1
; 
y
1
), 
B
(
x
2
; 
y
2
) белгілі 
болса, 
C
 нүктенің 
x
, 
y
 координаталарын тап. 
Шешуі.
 
, 
 және 
 векторларды саламыз.  
(
x
1
; 
y
1
), 
(
x
; 
y
),  
http:eduportal.uz

98
(
x
2
; 
y
2
), 
(
x 
−
 x
1
; 
y 
−
 y
1
), 
(
x
2
 
−
 x
; 
y
2
 
−
 y
) 
және λ санға көбейткенде, оның координатала­
ры    λ  сан ға  көбейтілетінін  ескеріп,  төменде­
гілерге ие боламыз:
(
)
1
1
;
AC
CB
AC x
x y
y
= λ
⇔
−
−
=
= 
λ
(
)
1
1
;
AC
CB
AC x
x y
y
= λ
⇔
−
−
=
(
)
2
2
1
2
1
2
(
);
;
(
).
x
x
x
x
CB x
x y
y
y
y
y
y
−
= λ
−

= λ
−
−
⇔ 
−
= λ
−

Демек, 
1
2
1
x
x
x
+ λ
+ λ
=
, 
1
2
1
y
y
y
+ λ
+ λ
=
.        
7-есеп.
  
M
1
(
x
1
; 
y
1
) және 
M
2
(
x
2
; 
y
2
) нүктелер­
ге сәйкесінше 
m
1
 және 
m
2
 ­ге тең жүктер орна­
ластырылған.  Бұл  массалар  жүйесінің  ауыр­
лық орталығы (
С
 нүкте) координаталарын та­
быңдар. 
Шешуі.   
Ауырлық  орталығы   
C
  – 
M
1
M
2
 
кесіндіде  және 
M
1
  , 
M
2
  нүктелерге  қойылған  
m
1
  және 
m
2
  массалардан  кері  пропорционал 
қашықтықта  жатады,  яғни  екі  материалдық  нүктелер  жүйесінің  ауырлық 
орталығы болған 
C
 нүкте 
M
1
M
2
 кесіндіні 
 қатынасында бөледі. λ ­нің 
мәнін 5­есептегі формулаларға қойып, пішін алмастырған соң,  
С
  нүктенің 
координаталарын табамыз:
1 1
2
2
1
2
C
x m
x m
m
m
x
+
+
=
, 
 
1 1
2
2
1
2
C
y m
y m
m
m
y
+
+
=
.
3. Вектор қатынасын дәлелдеуге қатысты есеп.
8-есеп.
 
ABCD
  –  параллелограмы  және  оның  диагональдары  қиылыс­
қан 
О
 нүктесі берілген. Дәлелдеңдер: 
.
 
Берілген:
 
ABCD
  –  паралллелограмм, 
O
  – 
AC
  және 
BD
  диаго наль­
дарының қиылысу нүктесі,  
AO
 = 
OC
, 
BO
 = 
OD
 (7­сурет).
Дәлелдеу керек:  
.
Дәлелдеу.  
Бұл вектор теңдігін дәлелдеудің бірнеше әдістерін келтіре­
міз. Айырманың нөл векторға теңдігін көрсетеміз:
(
) (
) (
) (
)
0.
OA OC
OB OD
OA OB
OC OD
BA DC
BA AB
BB
+
−
+
=
−
+
−
=
+
=
+
=
=
 
 
 
 
     
Пішін алмастыру үдерісінде қосындыдан қосындыны азайту ережесі, 
топ тастыру  заңы,  үшбұрыштар  ережесі, 
  (параллелограмның 
қара ма­қарсы қабырғалары және бағыттас векторлар), нөлдік вектор анық­
тамалары пайдаланылады.
2 
(
) (
) (
) (
)
0.
OA OC
OB OD
OA OD
OC OB
DA BC
DA AD DD
+
−
+
=
−
+
−
=
+
=
+
=
=
 
 
 
 
     
Пішін  алмастыруда  қосындыдан  қосындыны  азайту  және  үшбұрыш 
ережелері,  топтастыру  заңы, 
  екені  және  нөлдік  вектор 
анықтамалары пайдаланылады.
O
x
y
6
A
C
B
7
A
D
B
C
O
http:eduportal.uz

99
 1. 
A
(−2; 3) және 
B
(4; 0) нүктелерінен өтетін түзу сызық теңдеуін түзу.
  2.
  Егер 
C
(4; 9)  және 
R
 = 5  болса,  орталығы 
C
  нүктеде,  радиусы 
R
  болған 
шеңбердің теңдеуін жаз.
 
 
 3. 
  (1;  0),  (1;  2)  және  (1;  3)  векторлар  берілген.  –   және 
  век­
торларының координаталарын табыңдар.
 
4.
 
(1;  0)  және 
  вектолары  берілген.  2 +3   векторының  коор­
динаталарын табыңдар.
43–44. 3-БАҚЫЛАУ ЖҰМЫСЫ. ҚАТЕЛЕР 
БОЙЫНША ЖҰМЫС ІСТЕУ
1. 
A
(0; −1), 
B
(1; 0) нүктелерінен өтетін түзу сызық қайсы ширектерде орна ласқан?
 
A) III, IV, I; 
Ә) I, II, III; 
Б) II, III, IV; 
В) II, IV.
 2.  
A
(−2; 0), 
B
(−2; 2) нүктелерінен өтетін түзу сызық қайсы ширектерде жатады?
 
A) I, II, III; 
Ә) II, III; 
Б) II, IV;         
В) III, IV, I.
 3. 
Төбелері
 
A
(−4;  0), 
B
(−4;  4)  нүктелерде  болған 
AB
  кесіндісі  ортасының  
координаталарын табыңдар.
 
A) (−2; 0); 
Ә) (0; 2); 
Б) (2; −4);         
В) (−4; 2).
 4. 
Төбелері
 
A
(−2;  0), 
B
(0;  2), 
C
(2;  0)  нүктелерде  болған  үшбұрыштың 
АС
  
қабырғасы ортасының координаталарын табыңдар. 
 
A) (−1; 1); 
Ә) (1; 0); 
Б) (0; 0);         
В) (0; 1).
 5. 
(−3;  1)  және  (5; −6)  векторлар  берілген. 
  вектордың  коор­
динаталарын табыңдар.
 
A) (14; −9); 
Ә) (4; −3); 
Б) (14; −3); 
В) (9; 3).
 6. 
A 
(−3;  0)  және 
B
 (−5;  4)  нүктелер  берілген. 
  векторының  координаталарын 
табыңдар.
 
A) (−8; −4); 
Ә) (−8; 4); 
Б) (2; −4); 
В) (8; −4).
Ағылшын  тілін үйренеміз!
Шеңбер теңдеуі  
– circle equation
 
Тең векторлар  
– equal wectors
Түзу сызық теңдеуі  
– straight­
 
Скаляр 
– scalar
 
line equation
 
Қарама-қарсы векторлар  – 
Коллинеар векторлар – 
collinear 
 
opposite wectors
wectors
 
Бірлік вектор 
– onyt wector 
Вектор ұзындығы   – 
wector length
 
Бағыттас 
– equiwelent
Өзіңді сынап көр!
3-тест 
http:eduportal.uz

100
1.   
Тікбұрышты  координаталар  жүйесін  ғылымға 
француз  ғалымы  Рене  Де карт  енгізген.  Тікбұрышты 
координаталар  жүйесі  кейде  Декарт  коор ди наталар 
жүйесі деп те айтылады.
Рене  Декарт   
(1596  –1650)  –  француз  философы, 
математигі,  физигі,  физио логы.  Ла­Флэш  иезуит 
колледжінде  білім  алған,  грек  және  латын  тіл дерін, 
математика  мен  философияны  үйренген.  Декарт 
философиясы оның математикасымен, космогониясымен 
және  физикасымен  тығыз  байланысты.  Математикада 
аналитикалық  геометрияның  негізін  қалаушылардың 
бірі  (тікбұрышты  координаталар  жүйесі  оның  атымен 
аталады).  Декарт  ХVII  –  XVIII  ғасырлар  философиясы 
мен ғылымының дамуына салмақты үлес қосқан.
XVII ғасырда Декарттың ізденістері арқасында бүкіл 
математикада,  атап  айтқанда,  геометрияда  ұлы  төңкеріс 
жасап,  оны  қайта  құрған  координаталар  жүйесі  дүниеге  келді.  Алгебралық 
теңдеулерді  геомет риялық  график  арқылы  талдау  және  геомет риялық 
мәселелердің  шешімін  аналитикалық  форму лалар  және  теңдеулер  жүйелерінің 
көмегімен іздестірудің мүмкіндігі пайда болды.
Бүгінгі  таңға  дейін  сақталып  келген  қолайлы  бел гілердің  енгізілуінде,  яғни 
белгісіздерді  белгілеу  үшін 
x
, 
y
, 
z
;  коэффициенттерді  белгілеу  үшін 
a
, 
b
, 
c
  ла­
тын әріптерін енгізуде, дәрежелерді 
x
2
, 
y
2
, 
z
2
 көрінісінде белгілеуде де Декарттың 
сіңірген еңбектері өлшеусіз.
2.
  Вектор  ұғымы  ХІХ  ғасырдың  орта  шенінде  бір  мезгілдің  өзінде  бірне­
ше  математиктің  істерінде  кездесе  бастады.  Жазықтықта  векторлармен  жұмыс 
істеуді алғаш рет 1835 жылы итальян ғалымы 
Белливитис
 (1803–1880) бастап 
берді. Бұдан тыс 
К. Гаусстың
 (1777–1855) 1831 жылы жазылған  “Биквадраттық 
салыстырулар теориясы” атты шығармасында  және  

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: