1. ҚАтелер теориясы



бет1/20
Дата11.06.2020
өлшемі1,78 Mb.
#73152
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20
Байланысты:
ЧМ теория


1. ҚАТЕЛЕР ТЕОРИЯСЫ
1.1.Қателердің көздері және классификациялары
«Сандық әдістер» курсында біз есептеулерді жуықтап есептейтін әдістердің көмегімен жүргіземіз. Олай болса, есептеу үрдісінде белгілі бір деңгейде қателер жинақталады. Жіберілетін қателердің көздері мен олардың түрлерін қарастырайық.

Есепті шығару кезінде қателердің пайда болуына негізгі себеп – ол табиғи құбылыстардың математикалық модельдерге дәл бейнеленбеуі болып табылады. Мұндайда, әрі қарай есептеу кезінде, пайда болған қателерден арылу мүмкін болмайды. Сондықтан қойылған есептің математикалық моделін дәл құру – есептеу үрдісінің негізгі шарты.



Есептеу үрдісінде жіберілетін қателердің түрлері төмендегідей болуы мүмкін:

  1. Алғашқы ақпараттың қателігі. Мұндай қателер өлшеулердің дәл болмауының салдарынан пайда болады. Көп жағдайда есептеуші берілген шамалардың дәл мәндерін жуық сандармен алмастыруға мәжбүр болады. Мысалы, p санының орнына 3.14, е санының орнына 2.71 қолданамыз. Сол сияқты бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне көшу кезінде де қателер жіберіледі. Мысалы

0.110=0.000110011001100...2

  1. Әдіс қателігі. Дәл шығару әдістерінің болмауы немесе дәл әдістің типі күрделі болуы, жуықтап есептеу әдістерін қодануға мәжбүр етеді. Әдіс қателігі көбінесе шексіз үрдісстерді ақырлы үрдістермен ауыстыру кезінде пайда болады. Мұндай қателерді шек қателері деп атайды.

Мысалы, sin x функциясының мәнін жуықтап есептеу үшін:


шексіз қатарының санаулы алғашқы мүшелерінің қосындысын қолданады. Жіберілген шек қою қателігі қатардың бірінші ескерілмей қалған мүшесімен анықталады. Ал басқа жағдайларда әдіс қателігінің мөлшерін анықтау күрделі, бірақ жіберілген қатенің мөлшерін білмей, есептеу нәтижесінің қаншалық дәл екендігін айта алмаймыз. Сондықтан жуықтау әдістерінің көмегімен шығарылған әрбір есептің қателерінің мөлшерін анықтап отыру керек.

Осындай қажеттіліктен «қателер теориясы» курсы пайда болады. Бұл теория өз алдына дамыған математика ғылымының бір саласы болып табылады.



  1. Дөңгелектеу қателігі. Есептеу кезінде кейбір нәтижелерді дөңгелектеп алуға тура келеді. ЭЕМ-де дөңгелектеу, машинаның разряды санаулы болғандықтан амалсыздан жасалынады. Ал қолмен есептеу кезінде дөңгелектеуді әртүрлі мақсаттармен есептеушінің өзі жасайды.

  1.2. Абсолюттік және салыстырмалы қателіктер


Х – кезкелген бір шаманың дәл мәні, ал

х – оның жуық шамасы болсын (жуықтауы).

Х-х – жуықтаудың қателігі болып табылады. Әдетте, бұл қателіктің таңбасы елеусіз болады, сондықтан практикада оның абсолют мәні қарастырылады:

                                                                                    (1.1)

 

ех - х жуықтауының абсолюттік қателігі деп аталады. Көп жағдайда Х саны белгісіз болады да, (1.1) формуласының көмегімен х жуықтауының абсолюттік қателігін анықтауға мүмкіндік болмайды. Бірақ есептеушіге көбінесе жіберілетін қатенің абсолюттік шамасының жоғарғы шегі белгілі болады, яғни



 

(1.2)

 

теңсіздігі орындалатын саны белгілі болады. жуықтауының абсолюттік қателігінің шекарасы деп аталады.



Анықтама. х жуық санының абсолюттік қателігінің шекарасы деп осы санның ех абсолюттік қатесінен кем емес кезкелген бір санын айтамыз.

Мысалы, p санының жуық мән ретінде алайық p=3,141592... сонда жуықтауының қатесі




Ал оның абсолюттік қателігінің шекарасы ретінде

санын алуға болады.
(1.2) теңсіздігі Х санының жуық шамасын артығымен және кемімен алуға мүмкіндік береді.
(1.3)

 

Практикада (1.3) теңсіздігінің орнына


(1.4)

 

формуласын қолданады.



Абсолюттік қатесі бойынша, жүргізілген есептеулердің немесе өлшеулердің дәлдігі туралы толық мағлұмат алуға болмайды. Жуықтау мәндерінің сапасы оның салыстырмалы қателіктері арқылы анықталады.

Анықтама. х жуықтауының салыстырмалы қателігі деп оның абсолюттік қателігінің х санына қатынасын айтады.

Анықтама. х жуықтауының салыстырмалы қателігінің шекарасы деп абсолюттік қате шекарасының х санының модуліне қатынасын айтады, яғни

(1.5)

 

(1.5) формуласы қажет болған жағдайда х санының абсолюттік қатесін, оның салыстырмалы қатесі арқылы анықтауға мүмкіндік береді.


(1.6)
 

  1.3. Жуық мәндердің жазылуы


Анықтама. Санның цифры сенімді деп аталады, егер оның абсолюттік қатесі осы цифр тұрған разряд бірлігінен артық болмаса.

Мысалы,



10 а=2,91385 Dа=0,0097
-сенімді

-сенімді

-сенімді

-сенімді емес
Сонымен берілген а санының 2, 9, 1-цифрлары сенімді.
20 p=3.141592 – дәл мәні
p1=3,142 – жуықтауы

-сенімді

-сенімді

-сенімді

-сенімді

=3,142 санындағы барлық цифрлар сенімді. Егер жуық санды тек қана сенімді цифрлардан тұратын ондық бөлшек арқылы жазатын болсақ, онда осы санның дәлдігі туралы айту қажет.

Мысалы, а=16.784 санында барлық цифрларлары сенімді. Олай болса, санның цифры сенімді болғандықтан, оның абсолюттік қатесінің шекарасы 0.001-ден артық болмайды, яғни Dа=0.001, яғни а=16,7840.001 жазу қажет.

Жуық сандарды дұрыс жазу үшін, соңғы разрядтардағы нөлдер сенімді болса, оларды міндетті түрде жазу керек.

Мысалы, b=109.070 бұл жазу санның мыңдық разрядындағы нөлдің сенімді екендігін көрсетеді, яғни бұл санның абсолюттік қатесінің шекарасын Db=0.001 деп алуға болады.

Енді екінші бір санды с=109.07 қарастырайық. Оны b санымен салыстыратын болсақ, с санының дәлдігі b санының дәлдігінен төмен, себебі с санының абсолюттік қатесі Dс=0.001, ал Db=0.001 яғни Db

Сонымен санның ондық бөлшек түрінде жазылуындағы барлық цифрлар мәнді цифлар деп аталады.

Екі мәнде цифрдың ортасында жазылған, сол сияқты сенімді цифрларды көрсету үшін жазылған соңғы разрядта орналасқан нөлдерде мәнді цифрлар болып табылады.

Мысалы,

0.2409 – 4 мәнді цифр жазылған.

24.09 – 4 мәнді цифр жазылған.

100,070 – 6 мәнді цифр жазылған.

   4. Сандарды дөңгелектеу

Дөңгелектеу дегеніміз – санды мәнді цифрлары аз болатын, оның жуық мәнімен ауыстыру (айырбастау). Мұндайда дөңгелектеу қателілігі пайда болады. х-берілсін сан, х1 – оны дөңгелектеудің нәтижесі болсын.

Анықтама. Дөңгелектеу қателігі санның алғашқы және соңғы мәндерінің айырмасының модулімен анықталады.

Dдөң (1.7)

Dдөң – дөңгелектеу қателігі

Кейбір жағдайларда дөңгелектеу қателігінің орнына оның жоғарғы шекарасын қолдануға болады.

Дөңгелектеу қателігі ЭЕМ-де разрядтардың шектеулі болатындығынан амалсыз жіберіледі. Мұндайда келесі разрядтағы цифрлар алынып тасталады.

Жіберілетін қатенің шамасы әрқашанда сақталып қалатын соңғы разряд бірлігінен артық болмайды, яғни дөңгелектенген санның барлық цифрлары сенімді.

Қолмен есептеу кезінде сандарды дөңгелектеу үшін симметриялы дөңгелектеу әдісі қолданылады.



  1. Егер алынып тасталатын цифрлардың сол жақтағы біріншісі 5-тен кіші болса, онда қалған ондық цифрлар өзгеріссіз жазылады.

  2. Егер алынып тасталатын цифрдың сол жақтағы біріншісі 5-тен үлкен болса, онда сақталып жазылатын цифрлардың соңғысына (1) қосылады.

  3. Егер алынып тасталатын цифрлардың сол жақтағы біріншісі 5-ке тең болса және алынып тасталатын цифрлардың ішінде нольден артықтары болса, онда сақаталып жазылатын цифрлардың соңғысына (1) қосылады.

  4. Егер алынып тасталатын цифрлардың сол жақтағы біріншісі 5-ке тең болса және қалғандары ноль болса, онда

а) сақталып жазылатын цифрлардың соңғысына 1 қосылады, егер ол тақ болса,

б) өзгеріссіз жазылады, егер ол жұп болса.

Мысалдар қарастырайық:

Төмендегі сандарды ондық үлеске дейін (0,1) дөңгелектеңдер.



(1. жағдай бойынша)

(2. жағдай бойынша)

(3. жағдай бойынша)

(4. жағдай а) бойынша)

(4. жағдай б) бойынша)

х1 дөңгелектеу нәтижесінің абсолюттік қатесі мен дөңгелектеу қатесінің қосындысымен анықталды.

х-Х – санның жуықтауы

Dдөң (1.8)

Мысал. а=16,395 санының барлық цифрлары сенімді. а санын жүздік үлеске дейін дөңгелектейік а1 =16,40

Дөңгелектеу қателігі:

Dдөң

Дөңгелектеу нәтижесі а1-дің абсолюттік қатесін (2) арқылы анықтау үшін, оның дөңгелектеу қатесімен, берілген санның (а) абсолюттік қатесін анықтау керек. Dдөң – бізге белгілі: Dдөң=0,005

Берілген санның барлық цифрлары сенімді, олай болса

Dа=0,001

1=Dа+Dдөң=0,001+0,005=0,006

Дөңгелектеу нәтижесінің қателігі (Dа1) есептеу кезінде санның ондық жазылуындағы тар мағынада сенімді цифрларды анықтаудың маңызы зор.

Анықтама. Санның цифры тар мағынада сенімді деп аталады, егер санның абсолюттік қателігі осы цифр тұрған разряд бірлігінің жартысынан артық болмаса.

Мысал. а=10,93б а санының барлық цифрлары қатаң мағынада сенімді дейік. Онда а санының абсолюттік қатесі:

Dа=0,005
1.4. Арифметикалық амалдардың қателері


Арифметикалық амалдар +, -, *, /; амалдарының срындалуы нәтижесінде пайда болатын қателіктерді есептеу жолдарын қарастырайық.

Есеп қойылымы:

Есептің шартында алғашқы берілген жуық сандар, олармен арифметикалық операциялар орындалады. Есептеу нәтижесінің қателігіне алғашқы берілгендердің қателіктері қалай әсер етеді?

Бұл есепті шешу үшін, барлық арифметикалық амалдар нәтижелерінің қателіктерін қарастыру қажет.

  

1.5. Қосу және азайту


Алгебралық қосындының абсолюттік қателігі қосылыстардың абсолюттік қателерінің қосындысынан артық болмайды.

S=X1+X2 – дәл сандардың қосындысы.

s=x1+x2 – cәйкес жуықтаулардың қосындысы.

S-s=( X1+X2)-( x1+x2)=(X1-x1)+(X2-x2)



немесе

(1.9)
Тұжырымдар: Сонымен, қосындының абсолюттік қатесі қосылғыштардың абсолюттік қателерінің қосындысынан артық болмайды.
Немесе: DS=Dx1+Dx2 (1.10)
яғни алгебралық қосындының абсолют қатесінің шекарасы ретінде қосылғыштардың абсолюттік қателерінің шекараларының қосындысын алуға болады.

Мысал: Микрокалькулятор көмегімен төмендегі жуық мәндердің қосындысын анықтаңдар және оны 10-1 дейін дөңгелектеңдер.

0,348; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,1834; 0,000354

Сандардың жазылуындағы барлық цифрлар сенімді.

ЭЕМ көмегімен дөңгелектеу амалсыздан жасалынады:

S=602.25805


Осы қосындының, яғни есептеу нәтижесінің дәлдігін анықтайық. Сандардағы сенімді цифрлар белгілі болғандықтан, қосылғыштардың абсолюттік қателерін анықтай аламыз:

10-3+10-1+10-1+10-2+10-2+10-4+10-4+10-4+10-6=0,221301

Яғни қосындының жуық мәнінің абсолюттік қатесінің шекарасы (DS)

DS=0.222
Нәтижені (S) 10-1 дейін дөңгелектейік S1=602.3. Дөңгелектеу қателігін анықтаймыз:



Dдөң
Dдөң
Есептеу нәтижесін дұрыс жазу үшін қосындының жуық мәнінің абсолют қатесін көрсету керек. Оны (1.10) формуламен анықтаймыз:



Сонымен, қосындыны есептеудің нәтижесі:


Енді S=x1+x2 қосындысының салыстырмалы қатесін қарастырайық. х1, х2 - таңбалары бірдей жуық сандар. Анықтық үшін х1>0, х2>0.

Қосындысының салыстырмалы қатесінің шекарасы.



(1.11)
анықтамасын ескерсек, онда

(1.12)
Тұжырым. Сонымен, қосындысының салыстырмалы қателігінің шекарасы қосылғыштардың салыстырмалы қателіктерінің шекараларының үлкенінен артық болмайды.

Енді R=X1-X2, r=x1-x2 айырмаларын қарастырайық



(1.13)
Егер шегерілетін сандар бір-біріне өте жақын болса, олардың абсолют қателерінің кішкентайлығына қарамастан, салыстырмалы қателіктері үлкен болуы мүмкін, яғни мұндайда есептеу дәлдігі жойылады. Сондықтан бір-біріне жақын орналасқан сандарды шегеру үшін, оларға эквивалент түрлендірулер жасаған тиімді.

Мысалы:



қатаң мағынада сенімді цифрлары бар.

1=0.0005, Dx2=0.0005

Сонымен айырма U-дың мәнінде екі цифр ғана сенімді, себебі:

0,01>0.001 – 2 сенімді



0.001=0.001–1сенімді
Азайтқыш пен азайғыштың салыстырмалы қателіктерін қарастырайық:






Айырманың салыстырмалы қателігінің шекарасы берілгендердің (х12) салыстырмалы қателіктерінен 5000 есе үлкен болды.

Сондықтан мұндайда түрлендіру керек.

Мысал.

Айырманың мәнін анықтаңдар (тар немесе қатаң мағынада сенімді цифрлар саны үшеу деп анықтау қажет болсын).



ізделініп отырған нәтиже:



Бұл санда мәнді цифрлар саны үшеу (3,5,3).



Осы нәтижені түрлендірудің көмегімен де алуға болады.

мұндағы және мәндерін қатаң мағынада сенімді үш цифрлармен аламыз. Сонымен жоғарыда қарастырылған мысалдарда талдау жасай отырып, төмендегідей практикада маңызды ережені аламыз.

  1. Бір-бірімен айырмашылығы аз сандарда эквивалентті түрлендірулер жасау керек.

  2. Егер жасауға болмаса, онда азайғыш пен азайтқыштағы сенімді цифрлар санын жеткілікті дәрежеде алу керек. Мысал, х1, х2 сандарын азайту кезінде алғашқы m мәнді цифрлары жойылатындағы белгілі болып, ал айырманы n сенімді цифрлармен анықтау қажет болса, онда х1 және х2 сандарын m+n сенімді цифрлардың көмегімен алу керек.

1.6. Көбейтінді мен бөлудің қателіктері


- екі жуықтаудың көбейтіндісі,

- екі жуықтаудың бөліндісі болсын.

х1 х2 сандарының таңбалары қатенің шамасына ықпалын тигізбейді анықтық үшін х1>0, х2>0.



Көбейтіндіні оң сан деп ұйғарып, логарифмдесек

(1.14)
Мұнда белгілі жуықтау формуласын


қолдансақ

(1.14) (1.15)
Бөліндіні оң сан деп ұйғарып, логарифмдесек:

(1.16)
(1.16) (1.17)

(1.15) мен (1.17) салыстыра отырып,



(1.18)
(1.18) (1.19)

Сонымен көбейтіндінің салыстырмалы қатесі көбейткіштердің салыстырмалы қателерінің қосындысынан артық болмайды, ал бөліндінің салыстырмалы қатесі бөлінгіштің салыстырмалы қателіктерінің қосындысынан артық болмайды.



Енді көбейтінді мен бөліндінің абсолюттік қателіктерінің шекараларын қарастырайық:

(1.20)


(1.21)
Мысалдар. 1)25,7 және 3,6 сандарының барлық цифрлары сенімді. ЭЕМ-нің көмегімен бөліндіні анықтасақ, ол q=7.1388888; q=7,14 деп алайық.

Бөліндінің сенімді цифрларын анықтайық:



барлық цифрлары қатаң мағынада сенімді болғандықтан.
1=0.05 Dх2=0,05
(5.2.11)

цифры сенімді емес.

Сонымен

2) х1=12.2 х2=73.56 барлық цифрлары қатаң мағынада сенімді. және оның сенімді цифрларын анықтау қажет.

1=0.05 Dх2=0,005



102>4 – 8 цифры сенімді.

101>4 – 9 цифры сенімді.

10>4 – 8 цифры сенімсіз.



Олай болса көбейтіндіні -нің 2 цифры сенімді, яғни

2а) Көбейтінді енді , k-дәл берілген көбейткіш болсын, онда



, сонымен , енді абсолюттік қатесін қарастырайық:

Сонымен жуық санның дәл (k) көбейткішке көбейтіндісінің салыстырмалы қатесі өзгермейді, ал абсолюттік қатесінің шамасы k тұрақтыға көбейеді.



3) Дәреженің қателігі

, . Санның натурал дәрежесі – сол санның n рет көбейтіндісі, олай болса:

(1.21)
4) Түбірдің қателігі.

(1.22)
Тұжырым. Сонымен дәреженің (хn) салыстырмалы қатесі х санының салыстырмалы қатесінен n есе артық, ал салыстырмалы қатесі х санының салыстырмалы қатесінен n есе кем болады.

Абсолюттік қателіктері сәйкес.



1)

2)
Мысалдар. осы санның квадрат түбірін анықтаңдар, және қатаң мағынада сенімді цифрларын көрсетіңдер.




1>0.0014 3 – сенімді.

0.1>0.0014 5 – сенімді.

0.01>0.0014 1 – сенімді.

0,001<0,0014 2 – сенімсіз.


Есептер қарастырайық.

1) осы екі жуық сандардың қосындысын және қателіктерінің шекарасын анықтаңдар.






2)




айырманың салыстырмалы қателігі азайғыш пен азайтқыштың салыстырмалы қателерінен () 1000 есе үлкен. Бір-біріне жақын сандарды азайтуға болмайды.

Мысал 1: теңдіктерінің қайсысының дәлдігі жоғары?




Абсолюттік қателіктері:


Салыстырмалы қателіктері:


, олай болса теңдігі жоғары.
Мысал 2: 0,4357; 0,2387 сандарының абсолюттік, салыстырмалы қателіктерін анықтаңдар. Барлық цифрлары қатаң мағынада сенімді.

0,4357 барлық цифрлары қатаң мағынада сенімді болғандықтан, D=0,00005 ал


Мысал3: 12,384; 42,884 сандарының абсолюттік және салыстырмалы қателіктерін анықтаңдар. Барлық цифрлары сенімді.

12,384 – барлық цифрлары сенімді, олай болса,





Мысал4:қосындысын және айырмасын анықтаңдар және қателердің шекараларын анықтаңдар.








3) көбейтіндісін және бөліндісін анықтаңдар. Олардың қателерінің шекарасын бағалаңдар.











- көбейтінді (бөлінді)-нің салыстырмалы қатесінің шекарасы.()

Енді көбейтінді мен бөліндінің абсолюттік қателіктерінің шекарасын анықтайық:



Сонымен ; .



; .


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20




©engime.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет