1. ҚАтелер теориясы

Әртүрлі қашықтықта орналасқан интерполяция түйіндер үшін Ньютонның бірінші және екінші интерполяциялаушы формулалары

жүктеу/скачать 1,78 Mb.

бет	20/20
Дата	11.06.2020
өлшемі	1,78 Mb.
	#73152

1 ... 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Байланысты:
ЧМ теория

Әртүрлі қашықтықта орналасқан интерполяция түйіндер үшін Ньютонның бірінші және екінші интерполяциялаушы формулалары.
4.3. Бөлінетін айырымдар және оның қасиеттері
Интерполяция түйіндері әртүрлі арақашықтықта орналасқанда, яғни жуықтап есептеуді жүргізу үшін бөлінген айырымдар деген түсінік енгізіледі.

Бірдей емес арақашықтықта орналасқан интерполяция түйіндерінде функциясы өзінің мәндерімен берілсін.

Бірінші ретті бөлінген айырымдар деп мынадай қатынасты айтамыз:

немесе деп белгілеуге болады.

Екінші ретті бөлінген айырымдар төмендегідей анықталады:

немесе

-ші ретті бөлінген айырымдарды біле отырып, -шы ретті бөлінген айырымды төмендегідей түрде жазамыз:

немесе

Бөлінген айырымдар кестесін құрайық.(Кесте10)

Кесте 10. Бөлінген айырымдар кестесі

Бақылау сұрақтары

Интерполяция деген не?
Аппроксимация деген не?
Ақырлы айырымдар деген не?
Бөлінген айырымдар деген не?
Ньютонның бірінші интерполяциялаушы формуласы
Ньютонның екінші интерполяциялаушы формуласы
Лагранж интерполяциялаушы формуласы
Егер берілген х мәні кестенің басында (соңында) жатса, q қалай есептеледі?
п-ші реттегі ақырғы қалдық қалай анықталады?
Егер берілген аргумент мәні кестенің басында(соңында) жатса, интерполяция түйіні қалай табылады?

Өзіндік тапсырмалар
Ньютонның бірінші және екінші интерполяциялау формуласын пайдаланып, берілген аргумент мәнімен функция мәнін есептеу.

1 кесте

x

y

№
нұсқа

Аргумент мәні

1,415

0,888551

x₁

x₂

x₃

x₄

1,420

0,889599

1

1,4161

1,4625

1,4135

1,470

1,425

0,890637

11

1,4179

1,4633

1,4124

1,4655

1,430

0,891667

12

1,4263

1,4575

1,410

1,4662

1,435

0,892687

1,440

0,893698

1,445

0,894700

1,450

0,895693

1,455

0,896677

1,460

0,897653

1,465

0,898619

2 кесте

x

y

№
нұсқа

Аргумент мәні

0,101

1,26183

x₁

x₂

x₃

x₄

0,106

1,27644

2

0,1026

0,1440

0,099

0,161

0,111

1,29122

12

0,1035

0,1492

0,096

0,153

0,116

1,30617

22

0,1074

0,1485

0,1006

0,156

0,121

1,32130

0,126

1,3360

0,131

1,35207

0,136

1,36773

0,141

1,38357

0,146

1,39959

0,151

1,41579

3 кесте

x

y

№
нұсқа

Аргумент мәні

0,15

0,860708

x₁

x₂

x₃

x₄

0,20

0,818731

3

0,1511

0,7250

0,1430

0,80

0,25

0,778801

13

0,1535

0,7333

0,100

0,7540

0,30

0,740818

23

0,1525

0,6730

0,1455

0,85

0,35

0,704688

0,40

0,670320

0,45

0,637628

0,50

0,606531

0,55

0,576950

0,60

0,548812

0,65

0,522046

0,70

0,496585

0,75

0,472236

4 кесте

x

y

№
нұсқа

Аргумент мәні

0,180

5,61543

x₁

x₂

x₃

x₄

0,185

5,46693

4

0,1817

0,2275

0,175

0,2375

0,190

5,32634

14

0,1827

0,2292

0,1776

0,240

0,195

5,19304

24

0,1873

0,2326

0,1783

0,245

0,200

5,06649

0,205

4,94619

0,210

4,83170

0,215

4,72261

0,220

4,61855

0,225

4,51919

0,230

4,42422

0,235

4,33337

5. САНДЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ ЖӘНЕ САНДЫҚ ИНТЕГРАЛДАУ

5.1.Сандық интегралдау. Қарапайым квадратуралық формулалары
Математикалық анализ курсынан белгілі, егер кесіндісінде функциясы үзіліссіз болса, онда осы функциядан анықталған интеграл

(5.1)

формуласын қолданып шығарылады, яғни интеграл астындағы функция аналитикалық түрде берілсе, оны есептеу оңай. Бірақ, кейбір жағдайда интегралды шешу өте күрделі болады. Функция кесте немесе график түрінде берілуі мүмкін. Сондықтан анықталған интегралды есептеу үшін жуықтау әдістерін қолдануға тура келеді.

Сандық интегралдау есебінің қойылымы: кесіндісінде интеграл астындағы функция кестелік түрде берілгенде анықталған интегралды табу.

Жуықтап интегралдау формулалары квадратуралық (шаршылық) формулалар деп аталады.

(5.2)

интегралын есептеу үшін (5.3)

ақырғы қосындысы қолданылады. Мұндағы -сандық коэффициент, кесіндісінің нүктелері,

Мына жуықтап алынған теңдік (5.4)

квадратуралық формула деп аталады. Ал (1.3)-квадратуралық қосынды, -квадратуралық формуланың түйіндері, -квадратуралық формуланың коэффициенті деп аталады.

(5.5)

квадратуралық формуланың дәлдігі делінеді. Квадратуралық формуланың дәлдігі квадратуралық формуланың түйіндері--ның орналасуына, квадратуралық формуланың коэффициенттері--ны алу жолдарына тікелей байланысты.

Енді берілген анықталған интегралды есептеу үшін кесіндісін тең кесіндіге бөлеміз, яғни нүктелер жиынын аламыз да

(5.6)

теңдігін қарастырамыз.

кесіндісіндегі интегралдың мәнін табу үшін

(5.7)

интегралының аралықтағы мәнін табу жеткілікті, өйткені (1.6) формуласы арқылы интегралдың кесіндісіндегі мәнін табу онша қиындық туғызбайды.

5.1.1.Тік төртбұрыш әдісі

(5.7) интегралын жуықтап былайша есептейміз:

(5.8)

мұндағы

Бұл формуланың геометриялық мағынасы:

17-сурет

АВСД қисық сызықты трапецияның ауданы биіктігі АВД^/C^/ тік төртбұрышының ауданымен алмастырылады (17-сурет).

Сондықтан бұл формуланы тік төртбұрыш әдісі дейді.

(5.8) формуласының дәлдігі

. (5.9)

Тейлор формуласы арқылы оңай табылады.

Шынында да -ді былайша жазып,

= (5.10)

және +

десек, онда (1.10) формуласынан

(5.11)

формуласын аламыз.

Егер М= деп R-ді жоғарыдан бағаласақ ,онда

Яғни (5.12)

болғандықтан, h ұмтылғандағы дәлдік 0(h) болады.

Енді (5.8) теңдіктің i-дің 1- ден N- ге дейінгі қосындысын қарастырсақ

(5.13)

болады. Сондықтан .

Бұдан

Егер десек, онда

, (5.14)

яғни тік төртбұрыш әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі - 0(h).

5.1.2.Трапеция әдісі

(5.7) интегралындағы функциясын нүктелері арқылы тұрғызылған

бір дәрежелі Лагранж көпмүшесімен алмастырсақ, онда

(5.15)

мұндағы

(5.15) формуласын аралығында интегралдау арқылы

(5.16)

теңдігін аламыз. Бұдан

Бұл формула трапеция әдісі деп аталады,себебі

18-сурет

сызықтарымен қоршалған қисық сызықты трапецияның ауданы ABCD трапециясының ауданымен алмастырылады (3сурет).

(5.16) формуладан бұл әдістің қателігі:

(5.18)

екенін көреміз.Ал жоғарыдан бағаласақ

, (5.19)

Енді (5.2) интегралын былай есептесек:

(5.20)

Онда

(5.21)

трапеция әдісінің жалпы формуласы шығады.

Ал қателігі

(5.22)

Жоғарыдан бағаласақ

, (5.23)

.

Сонымен, трапеция әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі екенін көреміз.

Парабола әдісі (Симпсон формуласы)

51.7) интегралын жуықтап есептеу үшін, функциясын нүктелері арқылы тұрғызылған Лагранж көпмүшесімен алмастырамыз. Яғни

. (5.24)

Бұдан

Сонымен мына формуланы –

(5.25)

Симпсон немесе парабола формуласы деп атайды.

Бұл формуланы парабола формуласы деп атайтын себебі

сызықтарымен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданы нүктелері арқылы өтетін парабола және түзулерімен шектелген трапецияның ауданымен алмастырылады (19 -сурет).

Симпсон формуласы кесіндісінде былайша жазылады

Бөлшекті индекстерден құтылу үшін

десек, онда Симпсон формуласын былайша жазамыз:

. (5.26)

19-сурет

Симпсон формуласының жіберетін қатесін қарастырардың алдында, оның үш дәрежелі көпмүше үшін дәл екенін көрсетейік. Шынында да

болса, онда

Бұдан

Екіншіден

екенін ескерсек,

формуласын аламыз.

Сонымен Симпсон формуласының үшінші дәрежеге дейінгі кез келген көпмүшелер үшін дәл екенін көрдік.

Енді Симпсон формуласының қатесін қарастыру үшін мына шарттарды қанағаттандыратын

интерполяциялық Эрмит көпмүшелігін пайдаланамыз.

Симпсон формуласы кез келген үш дәрежелі көпмүшеліктер үшін дәл болғандықтан

(5.28)

Енді

десек, онда

мұндағы (5.29)

-Эрмит көпмүшесінің жіберетін қатесі.

кесіндісінде көпмүшесі өзінің таңбасын өзгертпейтін болғандықтан

Сондықтан Симпсон формуласының жіберетін қатесi

. (5.30)

немесе

(5.31)

Симпсон формуласының кесіндісінде жіберетін қатесі

болғандықтан, (5.32)

Яғни Симпсон әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі .

5.2 Сандық дифференциалдау. Интерполяциялаушы формулалар негізінде дифференциалдау формулалары
Сандық дифференциалдау формулалары интерполяция формулаларын дифференциалдау нәтижесінде алынады.

Берілген функцияның туындысын алу қиын болғанда немесе формуланы аналитикалық түрде берілген функцияға қолдана алмаған уақытта жуықтау немесе сандық дифференциалдау қолданамыз, яғни функция кестелік түрде берілгенде бұл әдісті қолдану ыңғайлы.

Сандық дифференциалдау есебі былай қойылады: функциясы

[a,b] кесіндісінде өзінің n+1 мәндерімен кестелік түрде берілсін. Туындының аналитикалық өрнегін табу қажет.

Жуықтаушы функция ретінде интерполяциялық көпмүшелікті аламыз. Егер бастапқы есепте интерполяция түйіндері бірдей қашықтықта орналасса, яғни

, мұндағы i=0,1,…,n, онда бұл жағдайда функциясын Ньютонның интерполяциялық формулаларымен алмастыруға болады.

Айталық

(5.33)
мұндағы q=(x- және h= (мұндағы i=0,1,…,n). (5.33) формуланы келесі түрде көшіріп жазамыз:

(5.34)
(5.35)
(5.34) теңдігін дифференциалдап, (5.35)формуласын қолданып, аламыз
(5.36)

y= функциясын дифференциалдап,

(5.37)

аламыз. Себебі

Дәл осылайша интерполяция түйіндерінде туындыларды анықтау үшін дифференциалдаудың айтарлықтай қысқаратынын көруге болады. q=0 деп жорып,
(5.38)

и

f”(x) (5.39)

аламыз. Туындыны анықтаудағы жуықтау қателігі:

мұндағы бірақ интерполяция түйіндеріндерінен өзгеше.

Кесте соңында орналасқан нүктедегі туындының мәнін алу үшін Ньютонның екінші интерполяциялаушы формуласын қолданамыз:
...
мұндағы , онда туындының жуық мәні
(5.41)
Мысалы. функциясы кестемен берілсін:

	1	2	3	4
	4	9	26	61

Сандық дифференциалдау әдісімен осы функцияның х=1 нүктесінде алғашқы екі туындысын табу керек.

Шешуі. Ақырлы айырымдар кестесін құрамыз:


1 2 3 4	4 9 26 61	5 17 35	12 18	6

Қадам h=1. (5.38) формулаға сәйкес

түйінінде екінші туындыны табамыз. (5.2.6) формуласы бойынша

f ”( f”(1)=6

5.2.1. Лагранж интерполяциялық формуласы негізінде дифференциалдау формуласы
Айталық функциясы өзінің кестелік мәндерімен берілсінОсы түйіндер жүйесі үшін Лагранж интерполяциялық көпмүшелігін аламыз.

мұндағы - интерполяция қадамы
Себебі , онда келесіні табамыз
(5.43)
Туындыны табудағы жіберілетін қателік
(5.44)
мұндағы .
Енді n=2 болғанда f(x) функциясының өзінің үш кестелік мәндері үшін есептеу жүргізейік.

Бұдан,

Дербес жағдайда, интерполяция түйіндерінде туындылар үшін келесі өрнектер аламыз:

n=3болғанда

Сандық дифференциалдау формулалары интерполяциялық формулаларға қарағанда онша дәл емес, бірақ олар практикалық есептеулер жүргізуге ыңғайлы.
Бақылау сұрақтары

Квадратуралық формулалар деген не?
Сандық дифференциалдау формулалары
Сандық интегралдау формулалары
Сандық интегралдау қателігі
Сандық дифференциалдау қателігі
Төртбұрыштар əдісі формулалары қалай бөлінеді?
Симпсон формуласының қадамы қандай формуламен есептеледі?

Өзіндік тапсырмалар
1. n = 10 үшін сол жақ және оң жақ тікбұрыш формулаларын

қолданып интегралды есепте, нәтижелерін салыстыру арқылы бағала.

2. n = 10 үшін трапеция формуласымен анықталған интегралды есепте

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

6 ТАРАУ. ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ ШЕШУДІҢ САНДЫҚ ӘДІСТЕРІ

Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсініктер

Механика, физика, химия есептерінің математикалық моделін қарастырғанда есептеулер дифференциалдық теңдеулерлерді шешуге әкеледі.

Айталық, бізге І-ші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу берілсін:
(6.1)
Осы (1)-ші теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі деп аталады. Қарапайым дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебі мынадай түрде қойылады:
(6.2)
Және бастапқы шартын қанағаттандыратын (1)-ші теңдеудің шешімін табу керек. Коши есебіндегі қосымша шарттар бастапқы шарттар деп, ал нүктесі шекаралық шарт деп аталады, және осы нүктесі бастапқы нүкте деп аталады. Коши есебінің шешімі (1)-ші теңдеудің дербес шешімі деп аталады.
Мысалы:

,

Дербес шешімі

Теорема: (6.1)-теңдеудегі функциясы өзінің дербес туындысымен бірге үзіліссіз болса, онда кезкелген бастапқы берілгендері үшін Коши есебінің жалғыз ғана шешімі болады.

6.2.Эйлер әдісі
Коши есебін шешудің сандық әдісі ішіндегі ең қарапайымы - Эйлер әдісі.

Бұл әдіс бір қадамды немесе Эйлер сынықтарының әдісі деп те аталады. Интегралдық қисыққа жанаманың бұрыштық коэффициенті нүктесі

Абсциссасына сәйкес келетін ординатасын табайық. нүктесіндегі жанаманың теңдеуі мынадай:

Мұндағы интегралдық қисықтың Коши есебінің дәл шешімі, ал сынығы Эйлер сынығы Коши есебінің жуық шешімдері.

нүктесіндегі қадамда бұрыштық коэффициенттері мынадай теңдеумен табылады:

Келесі қадамда нүктесін аламыз.

Дәл осылай келесі қадамдардың нүктелері үшін есептеулерді жүргіземіз, берілгені бар Коши есебінің шешімінің жуықтау мәні үшін Эйлер формуласын аламыз:

(6.3)
Эйлер әдісінің бір қадамды деп аталуының себебі формуласының нүктесіндегі,-ң нүктесіндегі мәнімен есептеледі. Эйлер формуласында және торлық функциясы есептеледі.

және нүктелері Коши есебін Эйлер әдісімен сандық шешу нәтижесінде алынған нүктелер олардың дәл шешімін ауытқу, яғни әдіс қателігін береді.Әрбір қадамды орындаған сайын біз басқа интегралдық қисыққа түсеміз. Яғни Эйлер әдісінің қателігі реті болады.

Мысал. [0, 1], h=0.25
Эйлер-Коши формуласы

мұндағы

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,5000

1,8906

2,3208

2,8016

3,3474

3,9763

4,7118

1,5000

1,6406

1,8208

2,0516

2,3474

2,7263

0,3750

0,4102

0,4552

0,5129

0,5868

0,6816

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,8750

2,3008

2,7760

3,3145

3,9342

4,6579

1,625

1,8008

2,0260

2,3145

2,6842

3,1579

0,4062

0,4502

0,5065

0,5786

0,6710

0,7895

0,3906

0,4302

0,4808

0,5458

0,6289

0,7355

1қадам. Бастапқы берілгендер бойынша 1-ші жолдың (2) және (3) бағандарын толтырамыз.

2 қадам. (4) баған үшін )= (i=0,1,…,5) мәнін анықтаймыз.

3 қадам. Табылған мәнге h қадамды көбейтіп, (5) бағанға жазамыз.

4 қадам. (6) баған үшін анықтаймыз.

5 қадам. (3) бағанға (5) бағанды қосамыз.

6 қадам. Табылған және мәндерін берілген дифференциалдық теңдеудің оң жағына қоямыз, сөйтіп (8) баған үшін анықтаймыз.

7 қадам. (8) бағанды қадамға көбейтіп, анықтаймыз да (9) бағанға жазамыз.

8 қадам. (5) және (9) бағандарда орналасқан шамалардың жарты қосындысын тауып, (10) бағанға жазамыз.

9 қадам. (3) бағанға (10) бағанды қосып, нәтижесін (3) бағанның келесі жолына жазамыз, яғни табамыз.

Содан кейін барлық есептеу үрдісін 2 қадамнан бастап қайталаймыз.

Эйлер – Коши әдісі

0,1

0,2

0,3

0,4

1,11

1,24305

1,33

1,44

6.3.Рунге-Кутта әдісі
Коши есебін шешудің сандық әдістерінің бірі - Рунге-Кутта әдісі. Бұл әдіс бір қадамды әдістерге жатады және тең өлшемді болады.
Айталық [a,b] кесіндісінде
(6.4)
бастапқы шартымен берілген
(6.5)
теңдеуінің сандық шешімін табу керек.
[a,b] кесіндісін n тең бөліктерге бөлеміз. , мұндағы h=(b-a)/n-қадам.

Рунге-Кутта әдісінде де Эйлердегідей

Y бастапқы функциясының тізбектелетін мәндері
(6.6)
формуласымен есептеледі.

Егер функцияны Тейлор қатарына жіктейтін болсақ және мушесімен шектелсек, онда функция өсімшесін

(6.7)

Формуласымен беруге болады.

(4) формуладағы есептеулер орнына Рунге-Кутта әдісінде 4 сан анықталады.

(6.8)

(6.9)

Сонымен әрбір жұп үшін (6.8) формула бойынша

(6.9) формула бойынша

табылады.

Содан кейін

Мысал. дәлдікпен теңдеудің x=1.5

нүктесінде шешімін Рунге-Кутта әдісімен жүргізіңіз.


1	2	3	4	5	10
0 1 2 3 4 5 6	0 0,125 0,125 0,25	1,5000 1,8906 2,3208 2,8016 3,3474 3,9763 4,7118	1,5000 1,6406 1,8208 2,0516 2,3474 2,7263	0,3750 0,4102 0,4552 0,5129 0,5868 0,6816	0,3906 0,4302 0,4808 0,5458 0,6289 0,7355

	0,25 0,375 0,375 0,50

1қадам. Бастапқы берілгендер бойынша 1-ші жолдың (2) және (3) бағандарын толтырамыз.

2 қадам. (4) баған үшін )= (i=0,1,…,5) мәнін анықтаймыз.

3 қадам. Табылған мәнге h қадамды көбейтіп, (5) бағанға жазамыз.

4 қадам. (6) баған үшін анықтаймыз.

5 қадам. (3) бағанға (5) бағанды қосамыз.

7 қадам. (8) бағанды қадамға көбейтіп, анықтаймыз да (9) бағанға жазамыз.

8 қадам. (5) және (9) бағандарда орналасқан шамалардың жарты қосындысын тауып, (10) бағанға жазамыз.

9 қадам. (3) бағанға (10) бағанды қосып, нәтижесін (3) бағанның келесі жолына жазамыз, яғни табамыз.

Содан кейін барлық есептеу үрдісін 2 қадамнан бастап қайталаймыз.

Дербес туындылы теңдеулерді шешудің сандық әдістері

Тәжірибеде көбіне тек бір нүктедегі шартпен берілетін есептерден басқа типті есептерді де шешуге тура келеді, мұндай тәуелсіз екі айнымалы мәніндегі шартпен берілетін есептерді шеттік есептер деп аталады. Мұндай есептер n- ші ретті теңдеулер жүйесін шешкенде алынады.

n- ші ретті дифференциалдық теңдеулерді қарастырайық.
(6.10)

(6.10) теңдік үшін шеттік есептің қойылуы мынадай шарттардан тұрады:

(6.10) теңдеудің шешімін табудан және де бұл шешім үшін

туындыларының мәні жалпы жағдайда берілген

нүктелер жүйесінде өзара тәуелсіз шарттармен қанағаттандыратын, жалпы жағдайда сызықтық емес
(6.11)

(6.10) теңдіктен -ретті туындысы ізделінді функциялары арқылы берілген және оның кіші туындылары десе, онда
(6.12)
теңдік орындалады.

Мысал 1. Екінші ретті дифференциалдық теңдеудің

(6.13)
және болғандағы,

шарттарын қанағаттандыратын функциясын табу керек.

Басқаша айтқанда геометриялық мағынасы және нүктелері арқылы өтетін (6.13) дифференциалдық теңдеудің интегралдық қисығын табу керек.

у

N

M

b

A

x

О

а

b

Сурет 20. Дифференциалдық теңдеудің интегралдық қисығы.

Мысал 2.

(6.14)

шеттік есебінің түріндегі шексіз көп шешімі бар. Мұндағы с – тұрақты теңдігінің болғанда түрінде жалғыз шешімі болады, ал болғанда шешімі жоқ.

Сурет 21.
Эллиптикалық, параболалық, гиперболалық типті теңдеулер

(6.15)

теңдеу берілген.

Мұнда - тәуелсіз айнымалылар -ізделінді функция, ал қалғандары ізделінді функцияның бойынша І, ІІ ретті дербес туындылары, (6) теңдіктің шешімі деп, оны теңдікке айналдыратын функциясын айтады.

Бұл фукнцияның графигі кеңістігіндегі бетті беред (интегралдық бет).

(6.16) теңдеу толығымен сызықты деп аталады. Егер ол ізделінді функциямен оның барлық туындылары бойынша бірінші дәрежелі болса және олардың көбейтіндісінен тұрмайтын болса, онда бұл теңдеу (8) түрде жазылатын болады.

(6.16)

коэффициенттері тек х пен у-ке ғана тәуелді болады.

Жеке жағдайда егер бұл коэффициенттер х пен у-тен тәуелсіз болса, онда (6.16) теңдеуді тұрақты коэффициентті сызықты дифференциалдық теңдеу дейміз.

(7) теңдеудің сызықтық теңдеу жағдайына толығымен тоқталайық.

теңдеудің дискриминанты болады.

D функциясының таңбасына байланысты (6.16) сызықтық дифференциалдық теңдеу берілген облыста берілген төмендегі типтердің біріне жатады.

болса эллипстік тип.

болса параболалық тип.

болса гиперболалық тип.

D – тұрақты таңбасы сақталмаса, онда ол аралас тип.

(6.16) сызықтық түрлендірудің типі оның ерекшелігі болып табылады.

Оның кезкелген айнымалысы (6.17)-ші түрлендіруде сақталады, яғни 0-ден өзгеше болатын түрлендіруінде

(6.17)

Пластинканың нүктесінің температурасы стационарлы таралғанда (яғни уақыттан тәуелсіз таралғанда) және жылу көздері болмаған жағдайда Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.

(6.18)

яғни, (9) теңдеу элипстік типті.

Біртекті жұқа сртерженнің абциссасы х болатын температурасы

-уақыт

біртекті жылу өткізгіш теңдеуін қанағаттандырады

(6.19)

мұнда а стерженнің физикалық қасиетінен тәуелді болатын тұрақты.

- жылудың таралу көздерінің тығыздығымен байланысты функция.

Егер стерженнің жылу көздері болмаса, онда жылу өткізгіштік теңдеуі

түрінде болады.

жаңа уақытын енгізіп, келесідегідей жылу өткізгіштік теңдеуін аламыз

(6.20)

(10), (11) теңдеулер параболалық типті.

Мысал 6: Бір текті шектің х абциссалы жылжымасы әрбір моментінде сыртқы бір өлшемді, бір тексіз

(6.21)

толқындық теңдеуі қанағаттандырады.

Мұнда сыртқы күштен тәуелді функция.

(12) шеткі ауытқудың теңдеуі деп аталады.

(6.22)

Егер сыртқы күш болмаса (6.22) пен (6.23) теңдеу гиперболалық типке жатады.

Эллиптикалық типті теңдеулер үшін шеттік есептердің қойылуы

Кейбір физикалық есептерді (тербелістер, жылуөткізгіштік және т.б.) шығарғанда мынадай түрдегі

(6.23)

эллиптикалық есептерге алып келеді.

Мұндағы және - үзіліссіз функциялар.

6.5. Айырымдық схемалар теориясының элементтері

Дербес туындылы теңдеулерді шешу барысындағы шеттік есепті жуықтап шешуде тор құрылады. Тордың түйіндері есептеу нүктелері болып табылады.

Мұның негізгі мағынасы мынада:

1. Шешімді іздестіретін G жазық облысында бірдей ұяшықтардан тұратын және берілген G облысында жуықталатын торлық облысы 5-суретте көрсетілгендей тұрғызылады.

G

Сурет 22. Торлық аудан бейнесі
2. Берілген дифференциалдық теңдеу тұрғызылған тордың түйіндерінде сәйкес ақырлы айырымдық теңдеуімен алмастырылады.

3. Шекаралық шарттар негізінде ізделінді шешімнің облысының шекаралық түйініндегі мәндері орнатылады.

Ақырлы айырымдылық теңдеулердің алынған жүйесін шешіп, біз тор түйініндегі ізделінді функция мәндерін табамыз, яғни есебіміздің сандық шешімін аламыз.

Торлық облысты таңдау нақтылы есепке байланысты болады. Бірақ барлық жағдайда торлық облысының контурын осы Г контуры берілген G облысына жақсы жуықтайтындай етіп алу қажет. Дифференциалдық теңдеуді ақырлы айырымдық теңдеумен алмастырған кездегі қалдық мүшесінің шамасы, тордың негізгі өлшемі h- ты таңдаудан тәуелді болады. Демек, теориялық тұрғыдан осы қалдық мүше алмастырылған шешім қателігінен кіші болатындай етіп h өлшемін таңдау керек.

Торлар әдісі өте ертеден белгілі болған. Бұл әдіс есептеу жүргізгенде өте ыңғайлы, себебі мұнда біртекті циклдер көп қолданылады.

Айырымдық схеманы тұрғызу
(6.10) теңдеудің шешімін жарты жазықтығында қарастырамыз.
(6.24)
мұндағы берілген функция.

Бұл өрнектің шешімін табу үшін тікбұрыш торлар түйінін қарастырамыз:

;
.

Әрбір түйініне (6.10) теңдеудің әртүрлі жуықтау теңдеуін жазамыз. Ол үшін түйіндегі туындыларын -ге сәйкес айырымдық қатынастарға ауыстырамыз:

; түйіндегі туындысын үш айырымдылық қатынастың біреуіне сәйкес шаблондарды қолданамыз:
; ; ;

Сурет 23. Айырымдық схема

Осы амалдарға сәйкес туындының жуықтау мәнін туындыны жуықтау амалына сәйкес біз (6.10) теңдеудің үш түрлі айырымдық жуықтауын аламыз.
(6.25)

(6.26)

(6.27)

(6.25) айырымдық теңдеудің құрамында төрт түйінің мағынасы бар, кескін 23- суретте және (1) –ші айырымдық теңдеу дәлдікке дейін; (6.26) айырымдық теңдеудің құрамында төрт түйіннің шешімінің мағынасы бар. 22-суретте кескінделген және (1) –ші айырымдық теңдеу дәлдікке дейін; (5)- ші айырымдық теңдеудің құрамында бес түйіннің шешімі кіреді. 23-суретте кескінделген (1) айырымдық теңдеудің дәлдігі бұл жағдайда да .

Сурет 24. схема

Сурет 25. схема

Сурет 26. схема

(6.28)
Бірінші және үшінші айырымдық схема-анық, ал екінші – анық емес. (6.25)–(6.27) теңдеулердің жай айырымдық түрі мына теңдеу арқылы алынады.

Егер турлендірсек, онда мына түрді аламыз:

Бұдан мынадай сұрақ туады: "Осы үш схеманың қайсысы h және l қатынастарының аралығында пайдаланған дұрыс?"

-

теңдеуінен деп алсақ, онда мынадай жай айырымдық теңдеу аламыз:

Есептеулер үшін бірінші схема қолайлы, себебі бастапқы шарттардан бастапқы қатар түйінінің шешімі белгілі. Бұлардың көмегімен бірінші қатар түйінінің шешімін оңай табуға болады, одан кейін екінші қатар. т.с.с.

Екінші схеманы қолдану кезінде теңдеулер жүйесін шешуге тура келеді. Үшінші айырымдық схема көмегімен есептің шешімін табу үшін бірінші қатар түйінінің шешімін есептеу қажет: (1) –ші дифференциалдық теңдеу жуықтауынан үшінші айырымдық схема басқаларына қарағанда жақсы. Бірақ бұл схеманы практикада қолдануға болмайды.

Бақылау сұрақтары

Қарапайым дифференциалдық теңдеу есебінің қойылымы ?
Қарапайым дифференциалдық теңдеуді шешу әдістері
Қарапайым дифференциалдық теңдеуді шешудің сандық әдістерінің дәлдігін арттыруға бола ма?
Айырымдық схемалар теориясының элементтері
Айырымдық схемалар жинақтылығы дегеніміз не?
Айырымдық схемалар орнықтылығы дегеніміз не?
Айырымдық схемалар арқылы аппроксимациялау тиімділігі

Өзіндік тапсырмалар
1. 2.

3. 4.

5. 6.

жүктеу/скачать 1,78 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 12 13 14 15 16 17 18 19 20