1. ҚАтелер теориясы


Теңдеу түбірлерін хорда әдісімен есептеу



бет6/20
Дата11.06.2020
өлшемі1,78 Mb.
#73152
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20
Байланысты:
ЧМ теория

2.3 Теңдеу түбірлерін хорда әдісімен есептеу
f(аf(b) < 0 шарты орындалатын, [a, b] кесіндіде f(x) = 0 теңдеуінің  түбірін бұрынғыдан да тез табудың жолын қарастырайық. Анықтық үшін f(a)<0 және f(b)>0 болсын. Онда [a, b] кесіндісін екіге бөлгеннен гөрі оны f(a):f(b) қатынасындай бөлген орынды. Ол бізге түбірдің жуық мәнін береді:

x1 =a + h (1),

мұндағы


. (2.2)

Әрі қарай осы әдісті f(x) ақырлы нүктелерінде әр түрлі таңбалы мәндер қабылдайтын [a, x1] немесе [x1, b] кесінділеріне қолданып түбірдің екінші жуықтауын -ні аламыз 3- сурет және т.б.

Бұл әдістің геометриялық мағынасы: y =f(x) қисығын, A[a, f(a)] және B[b, f(b)] нүктелері арқылы өтетін хордамен ауыстыру деген сөз.

АВ хордасының теңдеуі:



;

Бұдан x = x1 және y=0 деп алып,



(2.3)

шығарып аламыз.

(2.3) формуласы (2.1) және (2.2) формуласымен пара-пар. Бұл үрдістің жинақтылығын көрсету үшін түбір айырылған, ал функцияның екінші туындысы [a, b] кесіндісінде тұрақты таңбасын сақтайды деп есептейік.

Анықтық үшін аралығында болсын.



Онда y =f(x) қисығы төмен қарай дөңес болады, сондықтан өзінің АВ хордасынан төмен орналасады. Бұл кезде мынадай екі жағдай болуы мүмкін:

1. f(a)>0  4 сурет;

2. f(a)<0  5 сурет.

3-сурет 4-сурет 5-сурет

1) Бірінші жағдайда a нүктесі қозғалмайды, ал біртіндеп жуықтаулар

(2.4)

шектелген монотонды азаятын



тізбегін құрады.

2) Екінші жағдайда b нүктесі қозғалмайды, ал біртіндеп жуықтаулар



. (2.5)

шектелген монотонды өсетін



тізбек құрады.

Бұдан келесі қорытынды шығаруға болады:



  1. функцияның таңбасы, оның екінші ретті туындысының таңбасымен дәл келетін шеті қозғалмайды.

  2. біртіндеп жуықтаулары  түбірінің f(x) функциясының таңбасы, оның екінші ретті туындысының таңбасына қарама-қарсы болатын шетінде жатады.

Екі жағдайда да әрбір келесі жуықтауы  түбіріне алдыңғы -ге қарағанда жақын болады. Айталық

болсын делік. Бұл шек бар, себебі {} тізбегі шектелген және монотонды (2.4) теңдігінде шекке көшіп, бірінші жағдай үшін мәнін аламыз, бұдан . Жорамал бойынша (a, b) аралығында f(x)=0 теңдеуінің жалғыз  түбірі болғандықтан = болады, дәлелдеу керегі де осы. Тура осылай (2.5) теңдікте шекке көшіп екінші жағдай үшін де = екені дәлелденеді.

Жуықтаудың дәлдігін бағалау үшін формуласын қолдануға болады, мұнда .

Енді егер екі қатар жуықтау белгілі болса және , онда жуықтау мәнінің абсолюттік қатесін бағалауға болатын тағы бір формула келтірейік. Барлық жуықтауларды кіргізетін [a, b] кесіндісінде f'(x) туындысы үзіліссіз болсын және тұрақты таңбасын сақтасын. Әрі қарай



01 (2.6)

Анықтық үшін  дәл түбірінің, біртіндеп жуықталған мәндері (2.4) формуламен есептелсін.



Мұнда кесіндінің a шеті қозғалмайды, бұдан f()=0 екенін ескеріп, аламыз.

Функцияның ақырлы өсімшесі туралы Лагранж теоремасын қолданып

(2.7)

мұндағы және .



Сондықтан (2.7) формуланы былай жазамыз:

(2.8)

f'(x), [a, b] кесіндісінде таңбасын сақтайтын, әрі және болғандықтан, онда

алатынымыз айқын.

Сондықтан (2.8) формуланы ескере отырып, былай жазуға болады:



(2.9)

Мұндағы M1 және m1 ретінде [a, b] кесіндісіндегі f'(x) туындысының модулінің сәйкес ең кіші және ең үлкен мәні алынады. Егер [a, b] кесіндісі өте кіші болса, онда M1  2m1 теңсіздігі орын алады, онда (2.9) формуласын түрінде аламыз.

Сонымен бұл жерде болса, онда ,

мұнда  – берілген шектік абсолют қате.







    1. Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет