§ I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
253
3929.
Скорость охлаждения тела пропорциональна разности между
температурами тела и среды. В задачах 2 710— 2711 мы считали коэффи
циент пропорциональности постоянным. При некоторых расчетах считают,
что он линейно зависит от времени: /г = Л
*0
(
1
—
j—
а/). Найти при этом
предположении зависимость между температурой тела
0
и временем
t,
полагая, что при £ =
0
0
=
0
о, а температура окружающей среды
0
Ь
3930*. Скорость роста площади молодого листа виктории-регии,
имеющего, как известно, форму круга, пропорциональна окружности
листа и количеству солнечного света, падающего на лист. Последнее
в свою очередь пропорционально площади листа и косинусу угла между
направлением лучей и вертикалью. Найти зависимость между площадью
5' листа и временем
t,
если известно, что в
6
часов утра эта площадь
равнялась
1600 см1,
а в б часов вечера того же дня
2500 см1.
(Пола
гать, что наблюдение производилось на экваторе в день равноденствия,
когда угол между направлением лучей солнца и вертикалью можно
считать равным
90°
в
6
часов утра и в б часов вечера и
0°
в полдень.)
В задачах
3931— 3933
при помощи замены искомой функции при
вести данные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными
и решить их.
3931. У = cos
(х
—
у )
(положить
и = х
—
у).
3932. У =
З
л
- —
2
у
+
5.
3933. У
У
1
-\-х-\-у = х + у —
1.
О д н о р о д н ы е у р а в н е н и я
В задачах
3934
—
3944
найти общие решения уравнений.
3934. У =
К
— 2.
3935.
у ' —
.
*
X-
S
X — V
3936.
xcly
—
y d x = y d y .
3937.
у' —
.
3938. У = у - 1“
•
3939.
х / — у = Ух--\-у\
3940
.
у 1 + х - у = х у у .
3941
.
у =
е х -
3942.
х У — у
1и ^ . 3943. (3
у-
-j-
Зху
-j-
х~) dx
=
(х
1
-\-
2
ху) dy.
В задачах
3945
—
3948
найти частные решения дифференциальных
уравнений, удовлетворяющие данным начальным условиям.
3945.
(хУ
—
у)
arctg
— = х;
>>|x =
1
=
0.
3946.
(у-
— Зл*)
dy
-j-
‘2ху dx
= 0;
у
j
х =
0
=
1
.
3947.
3948‘
+ 2 х ^ ~ У = 0; У
U- = o = T ^ 5 .
3949. Привести уравнение У = у -} -с р ( y j
к
квадратуре.
Какова
должна быть функция 'P ^ y j» чтобы общим решением данного ураине-
X
НИ Я было V = :—г-^—Г ?
1
п | Са' |
3950. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого
любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки
касания.
3951. Найти линию, у которой начальная ордината любой касатель
ной равна соответствующей поднормали.
3952. Найти линию, у которой длина полярного радиуса любой ее
точки
М
равняется расстоянию между точкой пересечения касательной
в точке
AI
с осыо
Оу
и началом координат.
3 9 5 3 :;:. Какой поверхностью вращения является зеркало прожектора,
если лучи света, исходящие из точечного источника, отразившись, на
правляются параллельным пучком?
Л и н е й н ы е у р а в н е н и я
В задачах 3954— 3964 найти общие решения уравнений.
3954. У - |- 2
у = Ах.
3955.
у '
-}- 2
ху
=
хе~ х\
3956. У - ( - Ц т ^ ; , = 1.
3957. (1 И -
х
° ) у —
2ху = (\
- j -
х-)\
3958. У -(-
у =
cos
х.
3959. У
ау = етх.
3969.
2
у dx
-j-
(у ~
— Gx)
dy =
0
.
3961. у =
5.
3962.
у '= —
-----^---------.
J
2х —у
2у\пу-\-у — х
3963.
х
(
у
'
— у ) = (\
- f
х°) ех.
3964. У + У ^ Ч -х О — Ф
(х) Ф' (х)
=
0
, где Ф (х) — заданная функция.
В задачах 3965— 3968 найти частные решения уравнений, удовлетво
ряющие указанным начальным условиям.
3965.
У — у tg x =
sec л:; ^ | л. =
0
— 0.
3966.
х У -j~y
—
ех =
0;
у \ х=а = 1>.
3967.
х У — - ^ - j = x;
у
\ х = 1
= 0.
3968.
t(l+ t* )d x = z (x - {- x P — t*)dt;
x \t = i = — ^ .
3969. Пусть
уу
и
_уа — два различных решения уравнения
У +
P (x )* y = Q(x).
254
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРАВНЕНИЯ
|