Эссе жазықтықтағы екінші ретті қисықтар Негізгі ұғымдар

 

Гиперболаның канондық теңдеуі

Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының айырымы әрқашанда тұрақты шама болатын нүктелерінің геометриялық орындарын гипербола деп аталады тұрақты шама фокустарының арақашықтығынан кем.

 

	4 –сурет–Фокустар

 

F₁ және F₂ арқылы фокустарын, ал олардың арақашықтығын 2c, ал гиперболаның әрбір нүктесінен фокустарына дейінгі арақашықтықтарының айырымының модулін 2a деп белгілейік. Анықтама бойынша 2a2c, яғни ac. Гиперболаның теңдеуін қорытып шығару үшін Oxy координаталар жүйесіне аламыз, F₁ және F₂ фокустары Ox осінде, ал координаталар басы F₁F₂ кесіндісінің ортасы болатындай етіп аламыз. (3-суретті қара). Сонда фокустардың координаталары F₁(-c; 0) және F₂(c; 0) болады.

M(x; y)-гиперболаның бойынан алынған кез-келген нүкте. Сонда гиперболаның анықтамасы бойынша немесе , яғни . Эллипcтің теңдеуін қорытып шығарғандай, өрнектерді ықшамдағаннан кейін гиперболаның канондық теңдеуін аламыз

(17)

мұндағы

(18)

Гипербола екінші ретті қисық болып табылады.

Гиперболаның формасын оның теңдеуі бойынша зерттеу

Гиперболаның формасын оның канондық теңдеуі арқылы анықтаймыз.

1. (17) теңдеуінде x пен y жұп жұп дәрежеде беріледі. Гипербола Ox және Oy oсіне қарағанда және гиперболаның центрі деп аталатын O(0; 0) нүктесіне қарағанда симметриялы болады.

2. Гиперболаның координаталар осьтерінен қиылсу нүктелерін табамыз. (17) теңдеудегі y=0 дап алып, гиперболаның Ox осімен қиылсатын екі нүктені табамыз: A₁(a; 0), A₂(-a; 0). (17) теңдеудегі x=0 деп алып, y²=-b²  аламыз, яғни гипербола Oy осімен қиылспайды. A₁(a; 0) және A₂(-a; 0)  нүктелері гиперболаның төбелері, ал A₁A₂=2a  кесіндісі – нақты ось, OA₁ =OA₂=a гиперболаның нақты жарты осі деп аталады. B₁(0; b) және B₂(0; -b)  нүктелерін қосатын B₁B₂ кесіндісі (B₁B₂=2b)–жорамал осі, b–жорамал жарты осі деп атайды. Қабырғалары 2a және 2b болатын тікбұрыш гиперболаның негізгі тікбұрышы деп аталады.

 

	4 –сурет–Гипербола

 

4. (17) теңдеуден  өскенде,   өсетінін көруге болады. Бұдан  айырымы бірге тең тұрақты шаманы сақтайтындығы шығады.