Эссе жазықтықтағы екінші ретті қисықтар Негізгі ұғымдар



бет1/3
Дата07.04.2020
өлшемі99.14 Kb.
  1   2   3
ЭССЕ
Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар

 

 



Негізгі ұғымдар

 


 

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

(1)

2-ші дәрежелі теңдеуімен анықталатын сызықты қарастырайық. Теңдеудің коэффициенттері – нақты сандар, олардың ішіндегі А, В және С ең болмағанда біреуі нөлге тең емес. Мұндай сызықтарды екінші ретті сызықтар (қисықтар) деп аталады. Кейінірек (1) теңдеуі шеңбер, эллипс, гипербола және параболаның анықтайтынын қарастырамыз. Бұл ұйғарымда нақтылау үшін ең алдымен айтылған қисықтардың қасиетін қарастырайық.

 

 



Шеңбер

 

Екінші ретті қисықтардың ішіндегі ең қарапайым қисық – шеңбер. Радиусы R, центрі M0 нүктесінде болатын шеңбер деп M0M=R шартын қанағаттандыратын, жазықтықтың барлық M нүктелер жиынын айтатынын еске салайық. Тікбұрышты координаталар жүйесінде Mнүктесінің координаталары  x0yболсын, ал  M(xy)-шеңбердің бойынан алынған кез-келген нүкте (10.1-суретті қара).



 

 



 

 

1–сурет–Шеңбер

 

 

Онда  =R шартынан келесі теңдікті аламыз



 



(2)

яғни

 



(3)

(3) теңдеуін шеңбердің кез-келген M(x, y) нүкте координаталары қанағаттандырады, ал шеңбердің бойында жатпайтын нүктелер қанағаттандырмайды. (2) теңдеуі шеңбердің канондық теңдеуі деп аталады. Дербес жағдайда x0 =0 және  y0 =0 деп алсақ, онда центрі координаталар басында жататын

 

x0+y0=R2

(4)

теңдеуін аламыз.

 

 



Эллипс

 

Эллипстің канондық теңдеуі

Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтарының қосындысы әрқашан тұрақты шама болатын нүктелердің геометриялық орындарын эллипс деп аталады.

 


 



 

 

2 –сурет–

 F1 және F2 фокустары



 

 

F1 және F2 арқылы фокустарын, ал олардың арақашықтығын , ал қалауымызша алынған нүктеден фокусқа дейінгі арақашықтықты 2a деп белгілейік. Анықтама бойынша 2a 2c , яғни  a c. Эллипстің теңдеуін қортып шығару үшін Oxy координаталар жүйесін аламыз, яғни  F1 және F2 фокустары Ox осінде жататын, ал координаталар басы F1F2  кесіндісінің ортасына сәйкес келетіндей етіп аламыз. Сонда эллипстің фокустарының координаталары F1(-c; 0) және F2 (c; 0)  болады.

M(x, y)- эллипстің кез-келген нүктесі болсын. Онда эллипстің анықтамасы бойынша , яғни



 



(5)

Бұл мағынасы бойынша эллипстің теңдеуі болып табылады. (5) теңдеуін түрлендіріп келесі қарапайым түрге келтіреміз

 



(6)

 

+=4++

(7)

 



(8)

 



(9)

 

(a2-c2)x2+a2y2= a2 (a2-c2)

(10)

 болғандықтан, a2-c0 болады,

 

a2-c2 >b2

(11)

(10.11) теңдеуі

 

b2 x2+ a2 y2= a2 b2

(12)

түріне келеді немесе

 



(13)

(13) эллипстің канондық теңдеуі деп аталады. Эллипс – екінші ретті қисық.

Эллипс туралы қосымша мағлұматтар

Эллипстің формасы   қатынасынан тәуелді. b=a болса, онда эллипс шеңберге айналады, яғни (13) эллипстің теңдеуі  түріне келеді. Эллипстің формасын сипаттау үшін  қатынасы жиі қолданылады.  қатынасы эллипстің экцентриситеті деп аталады және ол  («эпсилон») әрпімен белгіленеді: , 0< <1 болады,

 



(14)

немесе

 

немесе 

(15)

M(xy) нүктесі-фокустары F1 және F2 болатын эллипстің бойынан алынған кез-келген нүктесі болсын. F1M=r1 және F2M=r2 кесінділерінің ұзындықтары М нүктесінің фокальды радиустары деп аталады. r1 +r2=2a тең екені белгілі.

 

 және 

(16)

формулалары шығады.

 


 



 

 

3 –сурет– Эллипс

 

 

 түзулері эллипстің директрисалары деп аталады.


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет