Кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі

Түзуді екі жазықтықтыңтың қиылысу арқылы былай анықталады: . Бұлардың нормаль ваекторларының координаталары былайша анықталады: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂);

Түзудің бағыттауыш векторы , векторларына перпендикуляр. Сонда = x  .
Жазықтық векторлық формада төмендегі теңдеу арқылы берілуі мүмкін:

 + D = 0, где

- жазықтықтың нормалі; -Жазықтықтың кез келген нүктесінің радиус - векторы.

Айталық кеңістікте екі жазықтық берілсін:  + D₁ = 0 и  + D₂ = 0,нормаль векторлардың координаталары:: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

Ол үшін түзудің кез келген нүктесін және m, n, p сандарын табады.

Сонда түзудің канондық теңдеуі:

Түзудің теңдеуін канондық (жабайы) түрге кеклтір.

Жоғарыдағы екі жазықтықтың қиылысуы арқылы берілген тұзудің кез келген нүктесін табу үшін z = 0 деп аламыз.Сонда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

Сонымен: A(-1; 3; 0).

Түзудің бағыттаушы векторы: .
Сонымен:
Жазықтықтар арасындағы бұрыш

₁

 0

Кеңістіктегі екі жазықтық арасындағы  бұрыш осы жазықтықтардың нормаль векторларының арасындағы ₁ бұрышпен мынадай қатынаста болады:  = ₁ или  = 180⁰ - ₁, яғни cos = cos₁.

Сонымен жазықтықтар арасындағы бұрыш төмендегі формула бойынша анықталады:

Жазықтықтардың параллельдік және перпендикулярлық шарттары

Жоғарыдағы шыққан формуланың негізінде жазықтықтардың арасындағы бұрышты табу үшін жазықтықтардың параллельдік және перпендикулярлық шарттарын табуға болады.

Жазықтықтар перпендикуляр болу үшін сол жазықтықтардың арасындағы бұрыштың косинусы нөлге тенң болуы қажетті және жеткілікті. Бұл шарт орындалу үшін төмендегі шарт орындалу керек.


Жазықтықтар параллель болу үшін олардың нормаль векторлары коллинеар болуы керек, яғни  . Бұл шарт орындалу үшін төмендегі теңдік орындалу кернек: .


Кеңістіктегі түзулер арасындағыбұрыш

Айталық кеңістікте екі түзу өздерінің параметрлік теңдеулерімен берілсін:

l₁:

l₂:

Түзулер арасындағы  бұрыш және олардың бағыттаушы векторлары арасындағы ₁ бұрыш  = ₁ немесе  = 180⁰ - ₁ қатысымен байланысты. Бағыттаушы векторлардың арасындағы бұрыш векторлардың скаляр көбейтіндісінен шығады, яғни:




.

d₁ және d₂ түзулер , түрінде берілсе онда екі түзудің арасындағы бұрыш мына формуламен анықталады .

Кеңістікте түзулердің параллельдігі мен перпендикулярлық шарттары

Екі түзу параллель болу үшін олардың бағыттаушы векторлары коллинеар болуы қажетті және жеткілікті, яғни векторлардың сәйкес координаталары пропорционал.

Екі түзу перпендикуляр болу үшін олардың бағыттаушы векторлары перпендикуляр болуы қажетті және жеткілікті, яғни олардың арасындағы бұрыштың косинусы нөлге тең.


Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш

Анықтама. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш деп түзу мен оның жазықтықтағы проекциясының арасындағы кез келген бұрышты айтады.






Айталық жазықтық теңдеуімен, ал түзу - теңдеуімен берілсін. Геометриялық кескіні бойынша (суретті қара.) ізделінді бұрыш  = 90⁰ - , мұндағы  - угол и векторлары арасындағы бұрыш. Бұл бұрыш төмендегі формула бойынша табылады:

Координаталық формада:

Кеңістікте түзу мен жазықтықтың параллельдік және перпендикулярлық шарттары

Түзу мен жазықтық параллель болу үшін жазықтықтың нормаль векторы мен түзудің бағыттайшы векторлары перпендикуляр болуы қажетті және жеткілікті. Ол үшін сол векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болуы қажетті.

Түзу мен жазықтық перпендикуляр жазықтықтың нормаль векторы түзудің бағыттаушы векторы коллинеар болуы қажетті және жеткілікті. Бұл шарт орындалады, егер осы векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса.

жүктеу/скачать 1,74 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: