Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық
жүктеу/скачать 67,2 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Салдар-2.
- Параллель түзулер туралы аксиома
- Д 77- сурет әлелдеуі
- Салдар-1.
- Салдар-3.
- Салдар-5.
- Тік бұрышты үшбұрышы. Пифагор теоремасы.Тік бұрышты үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғалары арасындағы метрикалық қатынастар.
- Т 80-сурет еорема.
- Д 81 сурет әлелдеу.
Теорема: Егер екі түзу үшінші түзумен қиылысқанда ішкі айқыш бұрыштары тең болса, онда берілген түзулер қиылыспайды. Анықтама. Бір жазықтықта жатып, қиылыспайтын түзулер параллель түзулер деп аталады. АВ және CD түзулері параллель деген  түрінде белгінеді.
Салдар-1. Егер сәйкес бұрыштар тең, немесе сыртқы айқыш бұрыштар тең, немесе ішкі бұрыштардың қосындысы, немесе сыртқы бұрыштардың қосындысы 1800-қа тең болса, онда түзулер параллель болады. Салдар-2. Егер екі түзудің әрқайсысы үшінші түзуге перпендикуляр болса, онда олар өзара параллель болады. Салдар-3. Берілген түзуден тысқара жатқан кез келген нүкте арқылы оған перпендикуляр жалғыз ғана түзу жүргізіледі. Параллель түзулер туралы аксиома: Берілген нүкте арқылы берілген түзуге параллель болатын жалғыз ғана түзу жүргізуге болады. Салдар-1. Егер екі түзудің әрқайсысы үшінші түзуге параллель болса, онда олар өзара параллель болады. Салдар-2. Параллель түзулердің біреуін қиятын түзу олардың екіншісін де қияды. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы. Т  еорема: Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 1800-қа тең.
Д 77- сурет әлелдеуі: АВС үшбұрышы берілсін  болатынын дәлелдейік. В төбесі арқылы АС табанына параллель DE түзуін жүргіземіз. АВ және СВ қабырғаларының созындысы сәйкес АG және СF болсын. Сонда вертикаль бұрыштар болғандықтан  , сәйкес бұрыштар болғандықтан  ,  болады. Сонымен қатар  ,  ,  бұрыштарының қосындысы жазық бұрышты береді, яғни 
Бұл бұрыштарды сәйкес тең бұрыштармен ауыстырсын,  немесе  .
Теорема дәлелденді. Салдар-1. Егер үшбұрыштың бір бұрышы тік немесе доғал болса, онда оның қалған екі бұрышы сүйір болды. Салдар-2. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы оған сыбайлас емес екі бұрыштардың қосындысына тең болады. Салдар-3. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы оған сыбайлас емес ішкі бұрыштардың әрқайсысынан үлкен болады. Салдар-4. Егер екі үшбұрыштың екі бұрышы өзара тең болса, онда үшінші бұрыштары да тең болады. Салдар-5. Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы тік бұрыштан кем болады. Тең бүйірлі үшбұрыш. Т  еорема: Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болады.
АВС – табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбұрыш болсын (78-сурет). Ондағы Ү 78-сурет шбұрыштардың теңдігінің бірінші белгісі бойынша САВ үшбұрышы СВА үшбұрышына тең. Шынында да,  . Үшбұрыштардың теңдігінен  екендігі шығады. Теорема дәлелденді.
Барлық қабырғалары тең болатын үшбұрыш тең қабырғалы үшбұрыш деп аталады. Салдар-1. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышы үнемі сүйір болады; тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы сыртқы бұрышы үнемі доғал болады. Салдар-2. Тең қабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары өзара тең және олардың әрқайсысы 600-қа тең болады. Тік бұрышты үшбұрышы. Пифагор теоремасы.Тік бұрышты үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғалары арасындағы метрикалық қатынастар. Тік бұрышты үшбұрыштың оның кезкелген екі қабырғасы арқылы анықталатынын білеміз, мысалы, екі катеті арқылы немесе бір катеті мен гипотенузасы арқылы анықталады. Ал егер екі қабырғасының орнына тек қана олардың қатынастары ғана берілсе, онда осы қатынасты қанағаттандыратын шексіз көп тік бұрышты үшбұрыштар жиынын алуға болады. Бұл үшбұрыштардың барлығы өзара ұқсас болады, яғни олардың бұрыштары бірдей болады. Сонымен, тік бұрышты үшбұрыштың екі қабырғасының қатынасы оның бұрышынң шамасын толық анықтайды. Бұдан тік бұрышты үшбұрыштың кез келген сүйір бұрышының шамасын бұрышты құрап тұрған бірдей екі өлшемді екі қабырғасының қатынасы арқылы анықтауға болады.
79- сурет ВС – тік бұрышты үшбұрыш болсын және оның С бұрышы тік те, ал А төбесіндегі сүйір бұрышы α- ға тең болсын. α бұрышының синусы деп (белгіленуі 
Тік бұрышты үшбұрыщтың сүйір бұрышының косинусы деп іргелес жатқан катеттің гипитенузаға қатынасын айтады. Α  ВС үшбұрышының А бұрышы α-ға тең, α бұрышының косинусы осы бұрышқа іргелес жатқан АС катетінің АВ гипотенузасына қатынасына тең, яғни
Т 80-сурет еорема. Бұрыштың косинусы тек бұрыштың градустық өлшеуішіне ғана тәуелді де, ал үшбұрыштың қалай орналасқанына және оның өлшемдеріне тәуелді болмайды. Б Д 81 сурет әлелдеу. АВС және A/B/C/ - екі тік бұрышты үшбұрыш олардың А мен A/ төбелеріндегі бұрыштары бірдей α-ға тең болсын (81-сурет). Дәлелдейтініміз: 
50-суретте көрсетілгендей, АВ1С1 үшбұрышына тең A/B/C/ үшбұрышын саламыз. Ал ВС және В1С1 түзулері АС түзуіне перпендикуляр болғандықтан, олар өзара параллель болады. Пропорционал кесінділер туралы теорема бойынша
Ал салу бойынша
Болады. Теорема дәлелденді. α бұрышының тангенсі (белгіленуі Бөлшектің алымы мен бөлімін АВ-ге бөлейік: 
α бұрышының котангенсі деп іргелес жатқан қатынасын айтады. α бұрышының котангенсі былай белгіленеді: Сонымен, 
екенін оңай байқауға болады. Бұрышытң синусы мен тангенсі, котангенсі де, косинусы сияқты, тек бұрыштың шамасына ғана тәуелді болады.  ,  және  ,  анықтамаларынан мынадай ережелер шығады:
α бұрышына қарсы жатқан катет гипонетуза мен α бұрышына іргелес жатқан катет гипотенуза мен α бұрышына қарсы жатқан катет екінші катет пен α бұрышына іргелес жатқан катет екінші катетпен Осы ережелерді пайдаланып, тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының бірі мен сүйір бұрышы берілгенде басқа қалған екі қабырғасын табуға болады: екі қабырғасы берілгенде, сүйір бұрыштарын табуға болады (82-сурет).  
82-сурет
Үшбұрыш элементтерінің арасындағы сандық байланыс. жүктеу/скачать 67,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
ұл сүйір бұрыштары бірдей тік бұрышты екі үшбұрыштың сол бұрышының косинустар тең дегенді білдіреді.
, 
болғандықтан,
) қарсы жатқан ВС катеттің іргелес жатқан АС катетке қатынасын атайды:
