Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н

2. В прямоугольном параллелепипеде: а) квадрат любой его диа
гонали равен сумме квадратов трех его измерений; б) все четыре
диагонали равны между собой.
Доказательства.
1. а) Рассмотрим диагонали AC
1
и BD
1
(рис. 54). Они являются диагоналями па
раллелограмма ABC
1
D
1
(AB || D
1
C
1
и AB
=
=
D
1
C
1
). Поэтому AC
1
и BD
1
пересекаются
и точкой пересечения О делятся пополам.
Далее, рассматривая диагонали А
1
С и АС
1
,
замечаем, что они — диагонали параллело
грамма АА
1
С
1
С (AA
1
|| СС
1
и АА
1
=
СС
1
).
Следовательно, диагональ А
1
С проходит
через середину AC
1
, т. е. точку О, и делится
ею пополам. Аналогично доказывается, что
диагональ B
1
D также проходит через точку
О и делится ею пополам.
Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересека
ются в одной точке и делятся ею пополам.
Следствие.
Точка пересечения диагоналей параллелепипеда явля
ется его центром симметрии.
1. б) Рассмотрим противолежащие грани AА
1
В
1
В и DD
1
C
1
C (см.
рис. 54). Все грани параллелепипеда — параллелограммы, поэтому
AA
1
|| DD
1
и AB || DC. По признаку параллельности двух плоскостей
грани АА
1
В
1
В и DD
1
C
1
C параллельны. Отрезки AD, ВС, A
1
D
1
и B
1
C
1
рав
ны и параллельны, значит, грань АА
1
В
1
В может быть совмещена с гра
нью DD
1
C
1
C параллельным переносом на вектор AD
¾ ®
¾
. Поэтому эти гра
ни равны.
Аналогично доказывается параллельность и равенство любых двух
других противолежащих граней параллелепипеда.
2. а) Рассмотрим диагональ B
1
D (рис. 55). Из прямоугольного тре
угольника B
1
BD по теореме Пифагора B
1
D
2
=
BB
1
2
+
BD
2
. Из прямо
угольного треугольника BAD пo теореме Пифагора BD
2
=
AB
2
+
DA
2
.
Отсюда
B
1
D
2
=
BB
1
2
+
AB
2
+
DA
2
=
DD
1
2
+
DC
2
+
DA
2
,
так как BB
1
=
DD
1
, AB
=
DC.
—
42
—
А
B
С
D
А
1
В
1
С
1
D
1
O
Рис. 54
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

2. б) Эта теорема непосредственно следует из предыдущей.
В заключение остановимся на свойствах куба.
Очевидно, что куб обладает всеми свойствами параллелепипеда,
прямого параллелепипеда и прямоугольного параллелепипеда.
Поэтому в кубе диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею
пополам; противолежащие грани равны и па
раллельны; квадрат диагонали куба равен
сумме квадратов трех его измерений; в кубе
все диагонали равны между собой.
Куб обладает также рядом свойств, которы
ми он отличается от других параллелепипедов.
Например, в кубе и прямоугольном параллеле
пипеде имеется различное число плоскостей
симметрии (выясните это).
Примечание. В школьном курсе из круго
вых цилиндров рассматриваются только пря
мые круговые цилиндры. По этой причине
в дальнейшем к ним будет применяться более
краткое название — «цилиндры». В тех же случаях, когда используют
ся некруговые цилиндры (их совсем немного), применяются полные
названия (произвольный цилиндр; цилиндр, в основании которого ле
жит многоугольник, и т. п.).
2.2. Примеры решения задач

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: