5) если из точки
О опустить перпендикуляр
ОМ на некоторую грань
и построить сферу с центром
О и радиусом
ОМ, то эта сфера будет
касаться всех граней данной пирамиды. Тем самым мы нашли центр
и радиус
искомой сферы;
6) единственность докажите самостоятельно.
Следствия.
В треугольной пирамиде пересекаются в одной точке
(О): а) 4 луча — пространственные биссектрисы трехгранных углов
тетраэдра; б) 6 полуплоскостей — биссекторы двугранных углов при
всех ребрах.
3. 1) Пусть
R (рис. 92) — радиус основания конуса,
Н — его высота
и
PA — образующая. Рассмотрим
D
PAO
1
. Проведем
АО — биссектрису
угла
PAO
1
. Точку
О примем за центр, а
ОО
1
=
r — за радиус шара.
Докажем, что такой шар — искомый;
2) для этого в
D
PAO
1
проведем
ОМ
^
PA:
очевидно, что
ОМ
=
ОО
1
=
r ;
3) итак, любая образующая
конуса касается шара;
4) очевидно, что шар
касается плоскости основания;
5) в результате построили сферу, вписанную в данный конус. Центр
сферы лежит на оси конуса и делит ее в отношении
РА :
R считая от
вершины (проверьте это самостоятельно);
6) единственность докажите самостоятельно.
4. 1) Пусть
РАВС... — данная пирамида (рис. 93). По условию в ее ос
нование можно вписать окружность. Пусть
О — центр этой окружно
сти. По условию высота
пирамиды проходит через точку О;
2) построим (мысленно) конус с вершиной
Р и основанием — кру
гом, вписанным в основание пирамиды. Этот конус искомый (проверь
те, касаются ли боковые грани пирамиды боковой поверхности конуса);
—
71
—
Достарыңызбен бөлісу: 
