Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н

Преобразование, при котором каждая точка А (рис. 10, б) переходит
в точку A
1
, симметричную относительно прямой s, называется осевой
симметрией. Прямая s называется осью симметрии.
Записывают: s(А)
=
А
1
. Эта запись означает, что при осевой симмет
рии с осью s точка А переходит в точку A
1
.
Если s(А)
=
А
1
, то, очевидно, s(А
1
)
=
А. Говорят, что точки А и A
1
яв
ляются взаимно симметричными относительно оси s.
Если точка О является серединой отрезка АА
1
(рис. 11, а), то точки
А и A
1
называются симметричными относительно точки О. При этом
точка О считается симметричной сама себе.
Преобразование, при котором каждая точка А (рис. 11, б) переходит
в симметричную ей точку А
1
относительно точки О, называется цен
тральной симметрией. Точка О называется центром симметрии.
Записывают: O(А)
=
А
1
. Эта запись означает, что при центральной
симметрии с центром О точка A переходит в точку A
1
.
Очевидно, что если O(А)
=
А
1
, то
O(А
1
)
=
А. Говорят, что точки А и A
1
яв
ляются взаимно симметричными отно
сительно центра О.
Пусть s
^ a
(рис. 12) и О — точка пе
ресечения прямой s и плоскости
a
. По
воротом вокруг оси s на угол
j
называ
ется преобразование, которое в каждой
плоскости, перпендикулярной к оси s,
вызывает поворот вокруг центра О на
угол
j
.
—
14
—
Рис. 11
O
А
А
1
s
B
В
1
φ
φ
α
Рис. 12
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Очевидно, что осевая симметрия пространства является поворотом
вокруг оси на 180
°
.
Параллельным переносом на вектор
r
m (рис. 13) называется преоб
разование пространства, при котором каждая точка А переходит в точ
ку А
1
такую, что AA
1
¾ ®
¾
=
r
m. Вектор
r
m называется вектором параллельного
переноса (вектором, на который совершается параллельный перенос).
Записывают:
r
m(A)
=
A
1
. Эта запись означает, что при параллельном
переносе на вектор
r
m точка А перешла в точку A
1
.
Винтовым движением с осью s, углом поворота
j
и вектором пере
носа
r
m, параллельным оси s (рис. 14), называется последовательное вы
полнение (композиция) поворота вокруг оси s на угол
j
и параллельно
го переноса на вектор
r
m.
2.2. Свойства движений
Теоремы 2
1. Каждое из следующих преобразований: а) симметрия относи
тельно плоскости; б) центральная симметрия; в) поворот вокруг
оси; г) осевая симметрия; д) параллельный перенос; е) винтовое
движение — является движением;
2. При центральной симметрии и параллельном переносе прямая
переходит в параллельную прямую, плоскость — в параллельную
плоскость.
—
15
—
Рис. 13
m
А
А
φ
s
0
А
1
Рис. 14
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Доказательство.
1. а) Преобразование пространства может вызывать в некоторой
плоскости известное из планиметрии преобразование. Часто бывает
удобно воспользоваться свойствами этого планиметрического преоб
разования.
1) Пусть даны две точки А и В (рис. 15)
и им симметричные относительно плоско
сти
a
точки A
1
и B
1
. Так как AA
1
и BB
1
пер
пендикулярны к плоскости
a
, то они парал
лельны;
2) поэтому прямые AA
1
и BB
1
лежат в од
ной плоскости. Обозначим ее
b
;
3) пусть s — прямая пересечения плоско
стей
a
и
b
. Имеем: AA
1
^
s, BB
1
^
s и прямая s
делит отрезки AA
1
и BB
1
пополам;
4) это означает, что симметрия относи
тельно плоскости
a
в плоскости
b
вызывает
известную из планиметрии осевую симмет
рию с осью s;
5) в планиметрии доказывалось, что осевая симметрия является
движением. Поэтому AВ
=
A
1
В
1
;
6) отсюда следует, что симметрия относительно плоскости является
движением.
1. б) 1) Так как точки A, A
1
, В, В
1
и О (рис. 16) лежат в одной плоскости
(обозначим ее
a
), то нетрудно заме
тить, что центральная симметрия
пространства с центром О вызывает
в плоскости
a
центральную симмет
рию с тем же центром;
2) из планиметрии известно, что
центральная симметрия плоскости
является движением. Поэтому AВ
=
A
1
В
1
;
3) это означает, что центральная симметрия пространства является
движением.
(Продолжение смотрите в следующем паpaграфе.)
—
16
—
α
s
А
B
α
s
А
1
B
1
β
Рис. 15
O
B
А
α
А
B
1
1
Рис. 16
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

2.3. Примеры решения задач
Задача 1
(12, а, рис. 17). В этой задаче требуется понятие перпенди
кулярности двух плоскостей перевести на язык геометрических
преобразований.
Доказательство.
1) Пусть
a
b =
а. Так как а
Ì a
, то при симметрии относительно
плоскости
a
прямая а перейдет сама в себя;
2) пусть плоскость
b
1
— образ плоскости
b
при симметрии относи
тельно плоскости
a
. Так как прямая а переходит сама в себя, то а
Ì b
1
;
3) движение сохраняет перпендикулярность плоскостей. Поэтому
b
1
^ a
;
4) плоскости
b
и
b
1
обе проходят через прямую а и перпендикуляр
ны к плоскости
a
. Поэтому
b
и
b
1
совпадают;
5) следовательно, при симметрии относительно плоскости
a
плос
кость
b
переходит сама в себя:
a
(
b
)
= b
.
Задача 2
(12, б, рис. 18). Данная задача аналогична предыдущей.
Доказательство.
1) Симметрия относительно плоскости
a
является движением, в ко
тором все точки плоскости
a
остаются неподвижными;
2) так как а
^ a
, то в таком движении прямая а переходит сама в се
бя (см. задачу 3 (6, ж) из § 1);
3) следовательно, при симметрии относительно плоскости
a
пря
мая а переходит сама в себя:
a
(а)
=
а.
—
17
—
O
а
α
Рис. 18
α
β β
а
1
Рис. 17
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Задача 3
(12, г, рис. 19). Замысел решения.
Воспользуемся свойствами центральной
симметрии.
Доказательство.
1) Пусть О
1
(а)
=
а
¢
. Так как при централь
ной симметрии прямая переходит в парал
лельную прямую, то а || а
¢
;
2) аналогично: а
1
|| а
¢
;
3) тогда (а || а
¢
и а
1
|| а
¢
)
Þ
а || а
1
.
§ 3. ПОВОРОТ ВОКРУГ ОСИ, ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
3.1. Теория
Продолжим доказательство теорем 2.
Доказательство.
1. в) (Методом равных треугольников, рис. 20.)
1) Пусть при повороте вокруг оси s на угол
j
точки A и В переходят соответственно в точки
A
1
и В
1
. Докажем, что AВ
=
A
1
В
1
;
2) нетрудно доказать, что отрезок, парал
лельный оси поворота, переходит в равный от
резок, причем параллельный оси поворота. Да
лее воспользуемся этим;
3) построения: через концы отрезка АВ про
ведем плоскости
a
и
b
, перпендикулярные к оси
поворота; через точки А и A
1
проведем соответ
ственно перпендикуляры АС и A
1
С
1
к плоско
сти
a
;
4) очевидно, что в данном повороте вокруг
оси отрезок ВС переходит в равный отрезок В
1
С
1
(см. п. 2), АС — в рав
ный отрезок A
1
С
1
(поворот вокруг оси в плоскости
a
вызывает поворот
вокруг точки О, который, как известно из планиметрии, сохраняет рас
стояние между точками), а значит, треугольник АВС — в треугольник
А
1
В
1
С
1
;
—
18
—
s
φ
B
B
О
1
φ
А
А
O
1
1
С
С
1
α
β
Рис. 20
а
O
O
а
1
1
2
а
¢
Рис. 19
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

5) так как треугольники АВС и А
1
В
1
С
1
— прямоугольные и их катеты
равны, то эти треугольники равны. Отсюда AВ
=
A
1
В
1
.
1. г) Справедливость этой теоремы непосредственно следует из пре
дыдущей. (Убедитесь в этом.)
3.2. Примеры решения задач
Задача 1
(17, а, рис. 21).
Замысел решения. Воспользуемся свойствами поворота.
Доказательство.
1) Пусть А
Îa
, В
Îa
, и в данном пово
роте точка В перейдет в точку В
1
;
2) так как s
^ a
и АВ
Ì a
, то s
^
АВ;
3) в данном повороте s
®
s, АВ
®
АВ
1
;
4) так как поворот является движе
нием, то он сохраняет перпендикуляр
ность прямых. Поэтому
s
AB
s
s
AB
AB
s
AB
^
®
®
ü
ý
ï
þï
Þ ^
,
,
1
1
;
5) если s
^
АВ
1
, то В
1
Îa
;
6) поэтому при повороте относительно оси s плоскость
a
перейдет
сама в себя.
Задача 2
(17, в, рис. 22).
Доказательство.
1) Пусть s(А)
=
А
1
и
a
(А
1
)
=
А
2
;
2) рассмотрим прямую а
= a
АА
1
А
2
;
3) симметрия относительно оси s в простран
стве в плоскости АА
1
А
2
вызывает симметрию от
носительно этой же оси s;
4) симметрия относительно плоскости
a
в плоскости АА
1
А
2
вызывает симметрию отно
сительно прямой а;
5) так как s
^ a
и а
Ì a
, то s
^
а;
6) последовательное выполнение (компози
ция) двух симметрий с перпендикулярными ося
—
19
—
α
А
s
B
В
1
φ

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: