§ 6. МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

носительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проходя
щих через ось симметрии. Докажите это.
Доказательство.
1) Пусть s(A)
=
A
¢
(рис. 35).
Проведем через s произвольную
плоскость
a
и плоскость
b
, пер
пендикулярную
a
. Положим, что
a
(А)
=
А
1
и
b
(А
1
)
=
A
2
. Докажем,
что А
¢
и А
2
совпадают: А
¢ =
A
2
;
2) в самом деле, так как AA
1
^ a
,
то AA
1
^
s и A
1
A
2
^ b
, следова
тельно, A
1
A
2
^
s. Итак, ось s пер
пендикулярна плоскости AA
1
A
2
,
пересекающей s в точке О, в кото
рой ее пересекает AA
¢
;
3) плоскость AA
1
A
2
пересекает плоскости
a
и
b
по перпендикуляр
ным прямым s
1
и s
2
. В силу симметрии имеем: ОА
=
OA
1
=
OA
2
=
ОА
¢
;
Ð
AOs
1
= Ð
s
1
OA
1
;
Ð
A
1
Os
2
= Ð
s
2
OA
2
;
4) так как
Ð
s
1
OA
1
+ Ð
A
1
Os
2
=
90
°
, то
Ð
AOs
1
+ Ð
s
1
OA
1
+ Ð
A
1
Os
2
+ Ð
s
2
OA
2
=
180
°
,
отсюда
Ð
AOA
2
=
180
°
;
5) если
Ð
AOA
2
=
180
°
и OA
2
=
OA
¢
, то точка A
2
совпадает с точкой А
¢
.
Задача 2.
Центральную симмет
рию пространства можно предста
вить как последовательное выпол
нение трех симметрий относитель
но трех перпендикулярных плоско
стей, проходящих через центр сим
метрии. Докажите это.
Доказательство.
1) Пусть О — центр данной сим
метрии и О(A)
=
A
¢
(рис. 36). Прове
дем через О произвольную плоскость
a
и через ту же точку О — перпенди
кулярную к ней плоскость
b
. Пусть
a
b =
s
1
. Через точку О проведем еще
плоскость
g
, перпендикулярную s
1
;
—
26
—
O
α
β
А
А
¢
γ
d
s
1
2
s
А
1
А
2
А
3
O
α
β
А
А
¢
γ
d
s
1
2
s
А
1
А
2
А
3
Рис. 36
O
s
α
β
А
1
А
А
¢
А
2
s
1
2
s
Рис. 35
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

2) пусть
a
(А)
=
А
1
,
b
(А
1
)
=
A
2
,
g
(А
2
)
=
A
3
. Докажем, что A
3
=
А
¢
;
3) последовательное выполнение двух симметрий относительно
плоскостей
a
и
b
на основании задачи 1 можно заменить симметрией
относительно оси s
1
. Тогда в силу симметрии OA
=
OA
2
=
OA
3
=
OA
¢
;
4) обратимся теперь к углам. Для этого через точку А и прямую s
1
проведем плоскость
d
. Очевидно, что точки A
2
, A
3
и A
¢
лежат в этой
плоскости. Пусть
d
g =
s
2
. Тогда в силу симметрии будем иметь:
Ð
AOs
1
= Ð
s
1
OA
2
;
Ð
A
2
Os
2
= Ð
s
2
OA
3
;
5) так как
Ð
s
1
OA
2
+ Ð
A
2
Os
2
=
90
°
, то
Ð
AOs
1
+ Ð
s
1
OA
2
+ Ð
A
2
Os
2
+ Ð
s
2
OA
3
=
180
°
.
Поэтому
Ð
AOA
3
=
180
°
;
6) если
Ð
AOA
3
=
180
°
и OA
3
=
OA
¢
, то точка A
3
=
А
¢
.
Задача 3.
Поворот вокруг оси можно заменить последовательным
выполнением двух симметрий относительно двух плоскостей, пере
секающихся по оси поворота; линейный угол между плоскостями
равен половине угла поворота. Докажите это.
Доказательство.
1) Пусть при повороте вокруг оси s на
угол
j
(рис. 37) точка А переходит в точ
ку А
¢
. Проведем через s произвольную
плоскость
a
. Пусть
a
(А)
=
А
1
. Построим
далее плоскость симметрии точек А
1
и А
¢
— плоскость
b
:
b
(А
1
)
=
А
¢
. Докажем,
что плоскость
b
проходит через ось s
и пересекает
a
под углом
j
2
;
2) в самом деле, возьмем произволь
ную точку M
Î
s. Так как симметрия от
носительно плоскости и поворот вокруг
оси являются движениями, то MA
1
=
MA
=
MA
¢
;
3) поэтому
D
MA
1
A
¢
является равнобедренным. Обозначим через В
середину отрезка A
1
A
¢
. Отрезок MB является медианой равнобедренно
го треугольника MA
1
A
¢
. Значит, A
1
A
¢ ^
MB;
4) учитывая, что A
1
A
¢ ^ b
, получаем, что MB
Ì b
. Отсюда M
Îb
. Так
как М — произвольная точка оси s, то s
Ì b
;
5) перейдем теперь к рассмотрению углов. В силу симметрии
Ð
AOs
1
= Ð
s
1
OA
1
;
Ð
A
1
Os
2
= Ð
s
2
OA
¢
;
—
27
—
φ
φ
2
А
А
¢
B
O
М
s
α
β
2
s
А
1
1
s
Рис. 37
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

6) так как
РAOs
1
+ Ð
s
1
OA
1
+ Ð
A
1
Os
2
+ Ð
s
2
OA
¢ = Ð
AOA
¢ = j
,
то
Ð
s
1
Os
2
= j
2
.
6.2. Задачи на совмещение равных фигур
Следующие задачи связаны с понятием равных и ориентированных
фигур.
Две равные фигуры называются одинаково ориентированными
(рис. 38, а), если каждые четыре не лежащие в одной плоскости точки
A, B, С, D первой фигуры и соответствующие им точки A
¢
, B
¢
, С
¢
, D
¢
вто
рой фигуры расположены так, что для наблюдателя, смотрящего по
очередно из точек D и D
¢
на треугольники AВС и A
¢
B
¢
С
¢
, они окажутся
одинаково ориентированными. Если при этих же условиях треуголь
ники AВС и A
¢
B
¢
С
¢
(рис. 38, б) будут противоположно ориентирован
ными, то и фигуры называются противоположно ориентированными.
(Заметим, что точки A, B, С, D и A
¢
, B
¢
, С
¢
, D
¢
— вершины соответствен
ных тетраэдров.)
Задача 1.
Докажите, что фигуры, симметричные относительно плос
кости, противоположно ориентированные. Какие ориентации име
ют фигуры, если одна из них получена из другой при помощи цен
тральной симметрии, осевой симметрии, поворота вокруг оси,
параллельного переноса, винтового движения? (Решите самостоя
тельно.)
—
28
—
Рис. 38
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Задача 2.
Две равные и одинаково ориентированные фигуры можно
совместить не более чем четырьмя последовательными симметрия
ми относительно четырех плоскостей. Докажите это.
Доказательство.
1) При доказательстве воспользуемся утверждением, что плоскость
симметрии двух данных точек есть геометрическое место точек, равно
удаленных от этих точек (докажите самостоятельно);
2) приступим теперь к решению данной задачи. Пусть Ф
=
Ф
¢
(рис.
39, а) и точкам A, B, С, D, Е, ... первой фигуры соответствуют точки A
¢
,
B
¢
, С
¢
, D
¢
, Е
¢
, ... второй фигуры (точки A, B, С, D и A
¢
, B
¢
, С
¢
, D
¢
— вершины
соответственных тетраэдров);
—
29
—
Рис. 39
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

3) проведем плоскость
a
1
— плоскость симметрии точек А и A
¢
. Вы
полним симметрию относительно этой плоскости. При этом точка A
перейдет в точку A
¢
, В — в В
1
, С — в C
1
, D — в D
1
, Е — в E
1
и т. д. Получили
фигуру Ф
1
, которая противоположно ориентирована с фигурой Ф
¢
.
У фигур Ф
1
и Ф
¢
оказались совмещенными соответственные точки од
ной пары;
4) проведем плоскость симметрии точек В
1
и В
¢
— плоскость
a
2
и вы
полним симметрию относительно этой плоскости. Так как A
¢
B
¢ =
A
¢
B
1
,
то плоскость
a
2
пройдет через точку A
¢
. Поэтому при симметрии отно
сительно плоскости
a
2
точка A
¢
останется неподвижной. Точка В
1
при
этом перейдет в точку B
¢
, С
1
, — в С
2
, D
1
— в D
2
, E
1
— в E
2
и т. д. Получили
фигуру Ф
2
, которая с фигурой Ф
¢
одинаково ориентирована. У фигур
Ф
2
и Ф
¢
оказались совмещенными уже две пары соответственных то
чек;
5) проведем плоскость симметрии точек С
2
и С
¢
— плоскость
a
3
(рис.
39, б). При симметрии относительно этой плоскости точки A
¢
и B
¢
ока
жутся неподвижными (так как они лежат на этой плоскости), а точка С
2
перейдет в точку С
¢
. Точка D
2
при этом перейдет в точку D
3
, E
2
— в E
3
и т. д. Получили фигуру Ф
3
, которая противоположно ориентирована
с фигурой Ф
¢
. Фигуры Ф
3
и Ф
¢
имеют совмещенными уже три пары со
ответственных точек;
6) точки A
¢
, B
¢
, С
¢
не лежат на одной прямой. В противном случае
точки A
¢
, B
¢
, С
¢
и D
¢
оказались бы лежащими в одной плоскости, но с са
мого начала эти точки мы выбираем не лежащими в одной плоскости;
7) через точки A
¢
, B
¢
и С
¢
проведем плоскость
a
4
(рис. 39, в). Так как
фигуры Ф
3
и Ф
¢
противоположно ориентированы, то точки D
3
и D
¢
ле
жат по разные стороны от плоскости
a
4
. В силу равенств A
¢
D
¢ =
A
¢
D
3
,
B
¢
D
¢ =
B
¢
D
3
, С
¢
D
¢ =
С
¢
D
3
плоскость симметрии точек D
¢
и D
3
проходит че
рез точки A
¢
, B
¢
и С
¢
, а значит, эта плоскость совпадает с плоскостью
a
4
;
8) аналогично плоскости симметрии остальных соответственных
точек совпадают с плоскостью
a
4
. Это означает, что при выполнении
симметрии относительно плоскости
a
4
фигура Ф
3
совпадает с фигу
рой Ф
¢
;
9) в итоге совмещение фигур Ф и и Ф
¢
достигнуто четырьмя сим
метриями относительно четырех плоскостей.
Рассмотренные факты позволяют решить следующую задачу.
—
30
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Задача 3.
а) Две равные и одинаково ориентированные фигуры мож
но совместить не более чем двумя следующими движениями: оба
движения — параллельные переносы; первое движение — перенос,
второе — поворот вокруг оси; первое движение — поворот вокруг
оси, второе — перенос; оба движения — повороты вокруг оси.
б) Две равные и одинаково ориентированные фигуры можно со
вместить одним винтовым движением.
Замечание. Для выработки умения решать задачи методом геомет
рических преобразований рекомендуем прорешать задачи из раздела
«Задания для самостоятельной работы».
—
31
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: